Вправи: 28.29

28.29 На продовженні найбільшої сторони AC трикутника ABC

відкладено відрізок CM = BC. Чи може кут ABM бути: 1) гострим;

2) прямим?

1) Нехай AC > AB; AC > BC; CM = BC.2) Побудуємо коло із центром у точці C і радіусом CM = CB.3) Коло перетинає пряму AC y точці A1;CA1 = CB.4) Оскільки AC > AB, то точка А1 лежить між точками А і С, а тому ∠ABC > ∠A1BC,

а тому ∠ABM > ∠A₁BM.

5) ∠A₁BM = 90° (як вписаний кут, що спирається на діаметр). Отже,

∠ABM > 90°.

Відповідь: 1) Ні; 2) ∠ABM > 90°.

Домашня самостійна робота №6

1. Дано: AB ∥ CD (мал. 1), OA = 3 см; OB = 4 см; BD = 12 см.

Знайдіть AC. A. 8 см; Б. 9 см; B. 10 см; Г. 16 см.

OAOB = ACBD; 34 = AC12; 4 • AC = 3 • 12; 4AC = 36; AC = 9 (cм).

Відповідь: Б. 9 см.

2. ∆ABC ~ ∆DEF; AB : DE = 2 : 3. Знайдіть відношення EF : BC.

A. 5 : 2; Б. 3 : 5; B. 2 : 3; Г. 3 : 2.

∆ABC ~ ∆DEF, тому ABDE = BCEF; BCEF = 23 • EFBC = 32.

Відповідь: Г. З : 2.

3. При яких з наведених умов ∆АВС ~ ∆А₁В₁С₁?

A. ∠A = ∠A₁ = 30°; Б. ∠A = ∠A₁; ∠B = 40°; ∠B₁ = 50°; B. ∠B = ∠B₁; ∠C = 47°; ∠C₁ = 47°; Г. ∠A = ∠A₁; ∠B = 150°; ∠C₁ = 150°.

Відповідь: В. ∠B = ∠B₁; ∠C = 47°; ∠C₁ = 47°.

4. На малюнку 165 ABC – різносторонній трикутник, ∠D = ∠B. Укажіть правильне твердження. A. ∆АВС ~ ∆ADL; Б. ∆АВС ~ ∆ALD; B. ∆АВС ~ ∆DAL; Г. ∆АВС ~ ∆DLA.

Відповідь: A. ∆ABC ~ ∆ADL.

5. CL – бісектриса трикутника ABC. AC = 6 см; BC = 9 см. Більший з відрізків, на які бісектриса CL ділить сторону AB, дорівнює 3 см. Знайдіть AB. А. 7,5 см; Б. 6 см; В. 5 см; Г. 6,5 см.

1) ACBC = ALLB.2) Оскільки AC < BC, то AL < LB. За умовою AL = 3 (см).3) Маємо 69 = 3LB; 6 • LB = 27; LB = 4,5 (см).

4) Тоді AB = 3 + 4,5 = 7,5 (см).

Відповідь: А. 7,5 см.

6. Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а його проекція

на гіпотенузу – 8 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

А. 15 см; Б. 18 см; В. 16 см; Г. 24 см.

1) В ∆ABC: ∠C = 90°; BC = 12 см; CK— висота трикутника; KB = 8 см.2) За властивістю катета маємо BC2 = AB • КВ;122 = 8 • AB; AB = 18 (см).Відповідь: Б. 18 см.

7. Сторони трикутника відносяться як 3 : 4 : 5. Знайдіть найменшу сторону подібного йому трикутника, якщо сума його середньої за величиною і найбільшої сторін дорівнює 72 см.

А. 18 см; Б. 27 см; В. 3067 см; Г. 24 см.

1) Оскільки сторони трикутника відносяться, як 3 : 4 : 5, то й сторони подібного йому трикутника відносяться, як 3 : 4 : 5.

2) Позначимо ці сторони Зх см, 4х см і 5х см. Маємо 4х + 5х = 72;

9х = 72; х = 8 (см).

3) Найменша сторона дорівнює 3 • 8 = 24 (см).

Відповідь: Г. 24 см.

8. ABCD – трапеція, AB і CD – її основи, O – точка перетину діагоналей. AB – CD = 4 см; AO = 8 см; OC = 6 см. Знайдіть AB.

А. 12 см; Б. 16 см; В. 14 см; Г. 18 см.

1) Позначимо DC = х см, тоді AB = х + 4 (см).2) За задачею №25.28 маємо ∆AOB ~ ∆COD, тоді АОСО = АВCD; 86 = x+4x; 8x = 6x + 24; 2x = 24; x = 12 (см).3) Тоді АВ = 12 + 4 = 16 (см).

Відповідь: Б. 16 см.

9. Пряма KL паралельна стороні BC трикутника ABC, K ∈ AB, L ∈ AC (мал. 2). BC = 9 см; KL = 6 см; KB = 4 см. Знайдіть довжину сторони AB. A. 12 см; Б. 8 см; B. 16 см; Г. 10 см.

1) KL ∥ BC, тому ∠AKL = ∠ABC (відповідні кути).2) ∆AKL ~ ∆ABC (за двома кутами), тому AKAB = KLBC.3) Позначимо AK = х см, тоді xx+4 = 69; 9x = 6x + 24; Зх = 24; х = 8 (см).4) Тому AB = 8 + 4 = 12 (см).Відповідь: А. 12 см.

10. Периметр паралелограма дорівнює 30 см, а його висоти – 4 см і

6 см. Знайдіть більшу сторону паралелограма.

А. 6 см; Б. 8 см; В. 9 см; Г. 12 см.

1) PABCD = 30 см; 2(AB + AD) = 30; AB + AD = 15.2) Позначимо AB = х см, тоді AD = 15 – x (см)3) ∆ABM ~ ∆ADN (за двома кутами).Тоді ABAD = BMDM.

4) x15-x = 46; 6х = 60 – 4х; 10x = 60; x = 6 (см).

5) Отже, AB = 6 см; AD = 15 – 6 = 9 (см).

Відповідь: В. 9 см.

11. Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної

сторони. Висота трапеції дорівнює 6 см і ділить більшу основу

на два відрізки, менший з яких дорівнює 3 см. Знайдіть меншу

основу трапеції. А. 6 см; Б. 8 см; В. 9 см; Г. 12 см.

1) Оскільки ∠ABD = 90°, то за властивістю висоти, проведеної до гіпотенузи, маємо BK2 = AK • KD; 62 = З • KD; KD = 12 (см).2) MD = AK = 3 см.3) BC = KM = KD – MD = 12 – 3 = 9 (см).Відповідь: В. 9 см.

12. У трикутнику, сторони якого дорівнюють 8 см; 12 см і 15 см, проведено півколо, центр якого належить більшій стороні

трикутника і яке дотикається до двох інших сторін. На які відрізки центр півкола ділить більшу сторону трикутника?

A. 6 см і 9 см; Б. 8 см і 7 см; B. 7,5 см і 7,5 см; Г. 5 см і 10 см.

1) ∆OKB ~ ∆OLB (за катетом і гіпотенузою),тому ∠KBO = ∠LBO.2) BO — бісектриса ∆АВС.3) Позначимо AO = х см, тоді OC = 15 – х (см).

4) За властивістю бісектриси АВАО = ВСОС; 8х = 1215-х; 120 – 8х = 12х;

20х = 120; х = 6 (см).

5) Отже, AO = 6 см; OC = 15 – 6 = 9 (см).

Відповідь: А) 6 см і 9 см.

13. У ∆ABC: ∠C = 90°, CK — висота трикутника, KB = 9 см, AK : CK = 4 : 3. Установіть відповідність між сторонами трикутника ABC (1-3) та їхніми довжинами (А-Г).

AK = 4x, CK = 3x.

З умови: AB = AK + KB = 4x + 9.

АС2 = АК2 + СК2 = (4х)2 + (3х)2 = 16х2 + 9х2 = 25х2 ⇒ AC = 5x.

ВС2 = КВ2 + СК2 = 92 + (3х)2 = 81 + 9х2;

(4х+9)2 = (5х)2 + ВС2;

АВ = АС2+ ВС2. АК = 12 см, для х = 3.

АВ = АК + КВ = 12 + 9 = 21 (см).

AB — Г (25 см);

BC — А (15 см);

AC — Б (20 см).

Завдання для перевірки знань до §23 – §28

1. ∆ABC ~ ∆LMN, ABLM = 3. Знайдіть відношення ACLN.

∆ABC ~ ∆LMN; ABLM = ACLN; ACLN = 3.

Відповідь: ACLN = 3.

2. Доведіть, що ∆АВС ~ ∆А₁В₁С₁, якщо AB = 3 см, BC = 4 см, AC = 5 см, A₁B₁ = 6 см, B₁C₁ = 8 см, A₁C₁ = 10 см.

Оскільки 36 = 48 = 510, то АВА1В1 = ВСВ1С1 = АСА1С1. Тому ∆АВС ~ ∆А₁В₁С₁ (за трьома сторонами).

3. Дано: KL ∥ MN (мал. 1), OL = 3 см, LN = 6 см, OK = 2 см.

Знайдіть KM.

OKOL = KMLN; 23 = KM6; 3 • KM = 12; KM = 4 (см).

4. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його проекція на гіпотенузу дорівнює 4 см, а гіпотенуза – 25 см.

1) ∆ABC — прямокутний; AB — гіпотенуза; CD — висота трикутника; BD = 4 см; AB = 25 см.2) За властивістю маємо BC2 = AB • BD;BC2 = 25 • 4 = 100, тому BC = 10 (см).Відповідь: 10 см.

5. AL – бісектриса трикутника ABC, AB = 8 см, AC = 10 см. Менший з відрізків, на які бісектриса AL ділить сторону BC, дорівнює 4 см. Знайдіть BC.

1) За властивістю бісектриси ABAC = BLLC.2) Оскільки AB < AC, то BL < LC.За умовою BL = 4 (см).3) 810 = 4LC; 8 • LC = 40; LC = 5 (см).

4) Тоді BC = 4 + 5 = 9 (см).

Відповідь: 9 см.

6. На малюнку 170 знайдіть подібні трикутники та доведіть їх подібність.

∆ABC ~ ∆LBK (за двома кутами).

7. Сторони трикутника відносяться як 5 : 6 : 7. Знайдіть невідомі сторони подібного йому трикутника, якщо сума його більшої і меншої сторін дорівнює 24 см.

1) Оскільки сторони трикутника відносяться як 5 : 6 : 7, то сторони подібного йому трикутника відносяться так само.

2) Позначимо ці сторони 5х см; 6х см і 7x см. За умовою 5х + 7х = 24; 12х = 24; х = 2 (см).

3) Сторони трикутника дорівнюють 5 • 2 = 10 (см); 6 • 2 = 12 (см);

7 • 2 = 14 (см).

Відповідь: 10 см; 12 см; 14 см.

8. O – точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AB ∥ CD), AO = 6 см, OC = 4 см. Знайдіть основи трапеції, якщо їх сума дорівнює 20 см.

1) Позначимо AB = х (см), тоді CD = 20 – х (см).2) За задачею №483, маємо ∆AOB ~ ∆COD, тоді AOCO = ABCD; 64 = x20-x; 120 – 6х = 4х; 120 = 10х; х = 12 (см). Отже, AB = 12 (см), CD = 20 – 12 = 8 (см).

Відповідь: 12 см; 8 см.

9. Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють

10 см і 6 см, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

1) Нехай BK— висота рівнобічної трапеції ABCD, основи AD = 10 cм; BC = 6 см.2) AK = AD-BC2 = 10-62 = 42 = 2 (см).3) Тоді KD = 10 – 2 = 8 (см).4) Оскільки ∠ABD = 90° (за умовою), то BK— висота прямокутного трикутника, яка проведена до гіпотенузи. За властивістю

висоти маємо BK² = AK • KD = 2 • 8 = 16, тому BK = 4 (см).

Відповідь: 4 см.

10. У двох рівнобедрених трикутниках кути при вершині між собою рівні. Периметр одного з трикутників дорівнює 56 см. Знайдіть його сторони, якщо дві сторони другого трикутника відносяться як 2 : 3.

1) Нехай у ∆ABC: AB = BC, а у ∆1B1C1:A1B1 = B1C1, крім того ∠B = ∠B1. Тоді∆ABC ~ ∆A1B1C1 (за наслідком з ознакиподібності трикутників за двома сторонами і кутом між ними).2) P∆ABC = 56 см. Сторони трикутникаA1B1C1 відносяться як 2 : 3. Оскільки∆ABC ~ ∆A1B1C1, то й сторони трикутника

ABC відносяться, як 2 : 3.

3) Необхідно розглянути два випадки.

I випадок. AB : AC =2 : 3. Тоді позначимо AB = BC = 2х (см), AC = Зх (см).

Маємо 2х + 2х + Зх = 56; 7x = 56; х = 8 (см). Тоді AB = BC = 2 • 8 = 16 (см), AC = 3 • 8 = 24 (см).

II випадок. AC : BC =2 : 3. Тоді позначимо AC = 2х (см), AB = BC = Зх (см). Маємо 2х + Зх + Зх = 56; 8х = 56; х = 7 (см). Тоді AC = 2 • 7 = 14 (см), AB = BC = 3 • 7 = 21 (см).

Відповідь: 16 см; 16 см; 24 см або 14 см; 21 см; 21 см.

11. На стороні AC трикутника ABC позначено точку K таку, що ∠ABK = ∠С, AB = 8 см, AK = 4 см. Знайдіть KC.

1) ∆ABC ~ ∆AKB (за двома кутами).2) Тому ABAC = AKAB; 8AC = 48;4 • AC = 64; AC = 16 (см).3) Тоді KC = 16 – 4 = 12 (см).Відповідь: 12 см.