Вправи: 14.35

14.35 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють а і b, а її діагоналі взаємно перпендикулярні. Доведіть, що висота трапеції дорівнює a+b2.

1) ABCD — рівнобічна трапеція; AC ⊥ BD.2) За властивістю 2 (с. 43 у підручнику), маємо AO = OD; BO = ОС.3) Проведемо висоту MN, що проходить через точку O.4) ∆AON = ∆DON (за катетом і гіпотенузою), тому ∠AON = ∠DON= 90°2 =45° і AN = ND = a2.

5) У ∆AON: ∠AON = 90° – 45° = 45°. Тому ∆AON — рівнобедрений

з основою AN i ON = AN = a2

6) Аналогічно OM = b2.

7) Тоді MN = ON + OM = a2 + b2 = a+b2, що й треба було довести.