Вправи: 934

934. У піраміді PABC (мал. 16.16) кожне ребро — завдовжки 20 см,

M i H — середини ребер AP і BC. Знайди: а) кути PBC, BHP, BPH, РМВ, MBP; б) відстані BH, AM, MP, PH, MB. Чи паралельні прямі BM і PH?

Так як у піраміди всі ребра рівні, то ∆АPB, ∆BPC — рівносторонні, отже, всі кути у них по 60°, всі сторони по 20 cм; M — середина

АР, тому BM ⊥ AP H — середина ВС, тому PH ⊥ BC. Звідси маємо

∠PBC = 60°; ∠BHP = 90°; ∠ВРН = 30°; ∠PMB = 90°; ∠MBP = 30°.

ВH = 12ВС = 12 • 20 = 10 (см), MP = 12HP = 12 • 20 = 10 (см);

AM = 12АР = 12 • 20 = 10 (см).

PH = PB2- PH2 = 202- 102 = 400-100 = 300 = 103 (см).

(з теореми Піфагора з ∆PBH).

MB = AB2- AM2 = 202- 102 = 400-100 = 300 = 103 (см)

(з ∆АВМ за теоремою Піфагора).

Стор.170

Задачі за готовими малюнками

2. А) d, α. AB, BC

AB = CD = d sin α, BC = AD = d cos α.

Б) AB = BC. AB, AC

∠A = ∠C = 70°; ∠B = 40°;

АС = hsin70° = h0,9397 = 1,06h;

AB = hsin40° = h0,6428 = 1,6h.

3. А) AH = DH. CD, DA.

ADBA — рівнобедрений,

DA = 2 • НА = 2a cos α;

CD = BH = a sin α.

Б) AB = BC. AB, AC

∆АСВ — прямокутний,

AB = 2r — гіпотенуза.

AС = 2r cos 50° = 0,6428 • 2r = 1,Зr;

CB = 2r sin 50° = 2r • 0,766 = 1,53r.

4. А. ABCD — ромб, AB — а, ∠BAD = α. AC, BD

∆ABO — прямокутний, АВ = a,

∠BAO = α2; ВО = а sіn α2;

AO = a cos α2, тоді AC = 2 • AO = 2a cos α2, c.

Б) AB = BC = C, ∠ABC = β. AC, BH

BH — висота, медіана, бісектриса ∆АВС — рівнобедреного, тому

∆АВС — прямокутний. AB = c — гіпотенуза; ∠ABH = β2.

AH = с sin β2; ВH = с соs β2, АС = 2 • АH = 2с sіn β2.

5. А) АС = 3, ВС = 4. sin α, соs α, tg α.

AB = 32+42 = 5, sin α = 0,6; соs α = 0,8; tg α = 0,75.

Б) AB = 10, AC = 6. tg α, cos β.

CB = 102-62 = 8, tg α = 86= 43;

соs β = 810 = 0,8.

6. А) BK ⊥ AC, AK = 1, КС = 9. sin α, cos α

BK = 1•9 = 3,

BC = 32+92 = 9+81 = 90 = 310.

sin α = BKBC = 3310 = 110.

cоs α = KCBC = 9310 = 310.

Б) ∠C = 90°, AM = MB. sin α

АВ = 62+82 = 10, AM = MB = 102 = 5.

6 • 8 = 10 • СH; CH = 4,8.

AH = AC2-CH2 = 62-4,82 = 12,96 = 3,6.

HМ = AM – AH = 5 – 3,6 = 1,4, СМ = МВ = МА = 5.

sin α = HM : CM = 1,4 : 5 = 0,28.

7. А) AB = 4 , BC = 23. ∠A, ∠В, AC.

sin ∠A = CBAB = 234 = 32, тому ∠A = 60°, тоді ∠B = 30°,

AC = 12АВ = 12 • 4 = 2.

Б) BC = 4, cos α = 32. AB, AC, ∠B

тому α = 30°,

∠B = 90° – 30° = 60°.

AB = BC : соs ∠В = 4 : cos 60° = 4 : 12 = 8.

AC = АВ соs α = 8 • 32 = 43.

8. А) AL = 6, tg α = 33. ∠A, ∠B, AC, ВС.

tg α = 33, тому α = 30° : ∠А = 2α = 60°,

∠B = 90° – 60° = 30°.

AC = AL cos α = 6 сов 30° = 632 = 33,

AB = AC: сов ∠A = 33 : соs 60° = 33 : 12 = 63;

CB = AB sin ∠А = 63 sin 60° = 63 • 32 = 9.

Б) sin α = 32, соs β = 22. ∠А, ∠B, ∠C AB, ВС.

sin α = 32, тому α = 60°, соs β = 32, β = 45°.

∠В = α + β = 60° + 45° = 105°,

∠А = 90 – α = 90° – 60° = 30°,

∠C = 90° – β = 90° – 45° = 45°.

AB = BKsin ∠A = 512 = 10;

BC = BKcosβ = 522 = 102.

Стор.172

Самостійна робота

Варіант 1

4. Менша сторона прямокутника дорівнює 6 см, а діагональ утворює з більшою стороною кут 40°. Знайди периметр прямокутника (з точністю до сотих).

ABCD — прямокутник, ∆ABC — прямокутний;

BC = ABtg40° = 60,8391 = 7,15 (см),

Р = (АВ + АС) • 2 = (6 + 7,15) • 2 = 26,3 (см).

Варіант 2

4. Висота ромба дорівнює 5 см, а гострий кут 70°. Знайди

периметр ромба (з точністю до сотих).

ABCB — ромб, BK ⊥ AD;

BK = 5 cм; ∠A = 70°.

∆ABK – прямокутний,

AB = BK : sin70° = 5 : 0,9397 = 5,32 (см)

Р = 4 • АВ = 4 • 5,32 = 21,28 (см).

Варіант З

4. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см і 10 см, а кут 50°. Знайдіть периметр трапеції (з точністю до сотих).

ABCD — рівнобічна трапеція,

BC = 6 см; AD = 10 см, AB = CD,

∠A = ∠D = 50°.

Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD.

BC = KM = 6 см;

AK = MD = 10-62 = 2 (см).

З ∆ABK AB = AKcosA = 2cos50° = 20,6428 = 3,11 (см).

P = AB + BC + CD + AD = 3,11 + 6 + 3,11 + 10 = 22,22 (см).

Варіант 4

4. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 8 см, а кут при основі 40°. Знайди периметр трикутника (з точністю до сотих).

У ∆ABC — прямокутний,

AB = AK : cos 40° = 4 : 0,766 = 5,22 (см).

P = 5,22 + 5,22 + 8 = 18.44 (см).

Стор.174

Типові задачі для тематичного контролю

4. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 25 см, а синус одного з кутів 0,2. Знайди катети трикутника.

25 • 0,2 = 5 (см) — один з катетів трикутника

252- 52 = 600 = 106 (см) — другий катет трикутника.

6. Знайди кути і сторони прямокутного трикутника, якщо висота, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 2 см і 6 см.

CH = 2 •6 = 12 = 23;

CB = (23)2+ 22 = 12+4 = 16 = 4 (см) (з ∆CHB);

AC = 62+(23)2 = 36+12 = 48 = 43 (см);

АВ = АН + НВ = 6 + 2 = 8 (см);

sin ∠А = CBAB = 12, тому ∠A = 30°, ∠B = 90° – ∠А = 90° – 30° = 60°.

7. Вершину дерева, віддаленого від даного пункту на 16 м, видно під кутом 16° до горизонту, а вершину другого дерева, віддаленого від цього самого пункту на 24 м, видно під кутом 19°. Яке дерево вище і на скільки?

AC — одне дерево, AB — друге.

AC = 16 • tg16° = 16 • 0,2867 = 4,5872 = 4,6.

KB = 24 • tg19° = 24 • 0,3443 = 8,2632 = 8,3.

8,3 > 4,6. Отже, дерево, віддалене на 24 м, вище на 8,3 – 4,6 = 3,7 м.

8. Гострий кут рівнобічної трапеції дорівнює α, а радіус вписаного

кола r. Знайди периметр і площу трапеції.

ABCD —трапеція, ∠A = ∠D = α, r — радіус вписаного кола.

AO — бісектриса ∠A;

з ∆AOK — прямокутного.

AK = OK : tgα2 = rtgα2; AD = 2rtgα2

∠B = 180° – α, BO – бісектриса;

З ∆OBM: BM = rtg180°- α2 = rtg(90°- α2);

З ∆AMO: AM = rtgα2; AB = r(1tgα2 + 1tg(90°- α2));

З ∆BON: BN = rtg(90°- α2); BC = 2rtg(90°- α2);

p = 2rtg(90°- α2) + 2rtgα2 + 2rtgα2 + 2rtg(90°- α2) = 4rtgα2 + 4rtg(90°-α2);

S = p • r = 2r2tgα2 + 2r2tg(90°- α2).