Вправи: 819

819. Спираючись на малюнок 360, доведіть, що: 1) ∆ADB ~ ∆АСВ) 2) ∆BAC ~ ∆BDC; 3) ∆ADK ~ ∆ACB; 4) AC • BD = AB • DC + AD • BC.

3) ∆ADK ~ ∆АСВ (за двома кутами).

∠DAK = ∠CBA (за умовою).

∠ADB = ∠ACB (спираються на одну дугу AB), тому ∠ADK = ∠ACB.

4) ∆АСВ ~ ∆ADK, тоді ACAD = BCDK.

Звідси AC • DK = ВС • AD. (I)

З подібності ∆АКВ і ∆АDС: ABAC = KBDC.

Звідси AC • KB = AB • DC. (II).

Додомо почлено рівності (I) і (II).

Маємо:

AC • DK + AC • KB = BC • AD + AB • DC;

AC • (DK + КВ) = ВС • AD + AB • DC;

AC • BD = AB • DC + BC • AD.

Стор.159

Тестові завдання

1. ∆А₁В₁C₁ ~ ∆AВC. Кут А дорівнює 60°, а кут В на 20° менший від ∠A. Знайдіть кут C₁. А. 40°. Б. 80°. В. 100°. Г. 120

∠B = 60° – 20° = 40°; ∠C = 180° – (60° + 40°) = 80°; ∠C₁ = ∠C = 80°.

Відповідь: Б

2. У трикутників KLM і DEF: ∠K = ∠D = 90°, ∠M = ∠F = 30°, DF = 5KM. Чому дорівнює DE, якщо KL = 10 см?

А. 2 см. Б. 15 см. В. 25 см. Г. 50 см.

∆KLM ~ ∆DEF. k = 5; DE = 5KL = 50 (см).

Відповідь: Г.

3. У трикутнику зі сторонами 7 см, 15 см і 20 см проведено бісектрису меншого кута. На які відрізки бісектриса поділила протилежну сторону?

А. 1,5 см і 2 см. Б. 3,5 см і 3,5 см. В. 2 см і 5 см. Г. З см і 4 см.

Менший кут лежить навпроти меншої сторони, тобто навпроти сторони 7 см, бісектриса ділить сторону 7 см на відрізки,

пропорційні числам 15 і 20.

x7- x = 1520; x7- x = 34;

x = 3 см; 7 – x = 7 – 3 = 4 см.

Відповідь: Г.

4. Діагоналі АC i BD трапеції ABCD перетинаються в точці О.

AD : BC = 3 : 2, HC = 30 см. Знайдіть довжини відрізків АO i ОС.

А. 10 см і 15 см. Б. 6 см і 9,5 см. В. 12 см і 18 см. Г. 18 см і 12 см.

AO : OС = 3 : 2.

АО = AC3+2 • 3 = 305 • 3 = 18 см;

СО = AC3+2 • 2 = 305 • 2 = 12 см.

Відповідь: В.

5. У трикутнику ABC висота AH довжиною 12 см проведена до сторони BC і відтинає на ній відрізок BH = 9 см. Знайдіть відстань від точки H до сторони AB, довжина якої 15 см.

А. 5,4 см. Б. 7,2 см. В. 9,6 см. Г. 12 см.

∆AHB — прямокутний; НК ⊥ АВ.

АН² = АВ • АК;

АК = AH2AB = 14415 = 9,6;

KB = АВ – АК = 15 – 9,6 = 5,4.

АK і KB — проекції катетів на гіпотенузу.

НК² = 9,6 • 5,4 = 51,84; НК = 7,2 (см).

Відповідь: Б.