Вправи: 818

818. У гострий кут вписано три кола, причому середнє коло дотикається до двох інших. Доведіть, що радіус середнього кола є середнім пропорційним між радіусами крайніх кіл.

O₁А ⊥ AС; O₂А ⊥ AС; O₃А ⊥ AС; O₁A = r; O₂B = х; O₃C = R.

Проведемо O₁D ⊥ О₂В. O₂F ⊥ O₃C.

∆O₁O₂D ~ ∆O₂O₃F.

Тоді O1O2O2O3 = O2DO3F; r+ xR+ x = x- rR- x;

rR + Rx – rx – x² = Rx – Rr + x² – xr;

2Rr = 2x²; x² = Rr; x = R• r.

Отже, радіус середнього кола — середнє пропорційне між радіусами крайніх кіл.