Вправи: 171

171. Два кути паралелограма відносяться, як 1 : 3. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини: 1) тупого кута; 2) гострого кута.

Кути відносяться як 1 : 3. Отже, ці кут и сусідні, бо нерівні.

Нехай ∠A = x, ∠B = 3x. ∠A + ∠B = 180°; х + З х = 180°; 4x = 180°;

х = 45°; ∠A = 45°; ∠B = 45° • З = 135°. ВK ⊥ AD; ВМ ⊥ CD; ∠KBM — кут між висотами, проведеними з вершини тупого кута.

З ∆АВК — прямокутного: ∠АВК = 90°, ∠ВАК = 45°, тому ∠ABK = 45°. ∠C = ∠A = 45°.

З ∆СМВ — прямокутного: ∠CBM = 45°.

∠KBM = ∠ABC – ∠ABK – ∠CBM = 135° – 45° – 45° = 45°.

Кут між висотами, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 45°. Висоти, проведені з вершини гострого кута, проведені на продовженні сторін:

АР ⊥ ВС, AF ⊥ CD. ∠PAF — кут між висотами, проведеними з вершини гострого кута. ∠PBA = 180° – ∠ABC = 180° – 135° = 45°, тоді: ∠PAB = 90° – 45° = 45° (з ∆АРВ — прямокутного).

Аналогічно ∠FAD = 45° (з ∆AFD — прямокутного).

∠PAF = ∠PAB + ∠BAD + ∠DAF = 45° + 45° + 45° = 135°.