Вправи: 174

174. За якої умови точка перетину бісектрис двох кутів паралелограма, що прилягають до однієї сторони, лежить на протилежній стороні?

ABCD — паралелограм.

AK — бісектриса ∠A. DK — бісектриса ∠D. К ∈ ВС. ∠BAK = ∠KAD, a

∠KAD = ∠BKA (внутрішні різвосторонні при AD ∥ ВС і січній AK).

Тому ∠BAK = ∠BKA.

Звідси ∆ABK — рівнобедрений, AB = BK. Аналогічно ∆KCD — ріввобедрений, тому КС = CD.

Оскільки AB = CD, то BK = КС.

Оскільки BK = АВ, то ВС = 2ВК = 2АВ.

Отже, бісектриси кутів паралелограма, що прилеглі до однієї сторони, перетинаються в точці, що лежить на протилежній стороні за умови, що одна сторона паралелограма вдвічі більша за другу.