Вправи: 1364

1364. Впишіть у трикутник ABC прямокутник, у якого основа втричі більша за висоту і лежить на основі трикутника, а дві вершини лежать на його бічних сторонах.

Побудуємо допоміжний прямокутник MNPK: з будь–якої т. М побудуємо перпендикуляр до АС.

Цей перпендикуляр перетне AB в т. N.

Від т. М на промені MC відкладемо МК = 3MN.

З т. К проведемо KP ∥ MN; з т. N проведемо NP ∥ МК.

У прямокутника MNKP: МК втричі більша за MN.

Проведемо АР до перетину зі стороною ВС. АР перетне ВС в точці Z.

Побудуємо ZO ⊥ AC i ZD ∥ AC (D ∈ AВ).

Проведемо DE ⊥ AC.

EDZO — шуканий прямокутник.

80. Периметр чотирикутника дорівнює 210 см, а одна з його сторін

у 2 рази менша від кожної з інших. Знайдіть сторони чотирикутника.

Дано: a, b, c, d – сторони чотирикутника;

Р = 210 см; a < b у 2 рази; a < c у 2 рази; a < d у 2 рази.

Знайти : a, b, c, d.

Розв’язання

Нехай а = х см, тоді b = c = d = 2x см.

P = a + b + c + d;

x + 2x + 2x + 2x = 210;

7x = 210;

x = 210 : 7;

x = 30;

a = 30 см.

b = c = d = 2 • 30 = 60 (см).

Відповідь: 30 см; 60 см; 60 см; 60 см.

82. Чи може чотирикутник мати такі сторони: 2 см, 3 см, 5 см, 10 см?

2 см; 3 см; 5 см; 10 см

10 < 2 + 3 + 5. Ні.

96. Піраміда має п’ять граней, чотири з яких — трикутники. Яким

многокутником є її п’ята грань?

П’ята грань – чотирикутник.

97. Основою піраміди є чотирикутник. Скільки граней і ребер має

піраміда?

5 граней і 8 ребер.

118. Діагональ чотирикутника поділяє його на два трикутники, периметри яких дорівнюють 30 см і 40 см. Знайдіть довжину діагоналі, якщо периметр чотирикутника дорівнює 50 см.

Дано: ABCD – чотирикутник;

P_ABCD = 50 см; P_∆ABD = 30 cм; P_∆BCD = 40 см.

Знайти: BD.

Розв’язання

P_∆ABD + P_∆DBC = AB + BD + AD + BD + BC + CD.

30 + 40 = 2BD + P_ABCD;

70 = 2BD + 50;

2BD = 70 – 50;

2BD = 20.

BD = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

119. Доведіть, що сума двох протилежних сторін чотирикутника менша від суми його діагоналей.

Дано: ABCD – чотирикутник;

Довести: BC + AD < BD + AC.

Доведення

+ BC < BO + OC;

AD < AO + OD;

BC + AD < BO + OC + AO + OD;

BC + AD < BO + OD + AO + OC;

BC + AD < BD + AC.

122. На малюнку 29 зображено земельну ділянку в масштабі 1 :

: 2000. Межі ділянки потрібно обгородити парканом. Скільки стовпців необхідно для огорожі, якщо відстань між ними має бути

4 м?

Масштаб – 1 : 2000;

Відстань між стовпцями – 4 м.

Кількість стовпців – ?

Розв’язання

Р = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (см) – на плані;

Р₁ = 10 • 2000 = 20000 (см) = 200 м – на місцевості;

200 : 4 = 50 (шт) – кількість стовпців.

Відповідь: 50 ст.

123. Потрібно виготовити чотирикутну рамку для повітряного змія.

Взяли чотири планки й закріпили їхні кінці. З’ясувалося, що

виготовлена рамка нежорстка — змінюється її форма. Як можна

укріпити рамку?

Потрібно встановити дві діагоналі, які перетинаються в центрі.

Рамка стане жорсткою й триматиме форму.

124. Чотири населені пункти розташовані у вершинах чотирикут–ника (мал. 30) і попарно з’єднані дорогами (відповідні відстані

вказано на малюнку). На цій місцевості планують побудувати

завод, де зможуть працювати мешканці кожного із цих населених

пунктів. На роботу та з роботи працівників возитиме заводський

автобус.

1. 3 + 4 + 5 = 12 (км);

2. 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 = 10 (км) – найменша відстань.

3. в пункті О.

4. Найкоротший маршрут автобуса на завод

2,5 + 3 + 4 + 3 + 2,5 = 15 (км).

5. Найкоротший маршрут автобуса з території заводу.

2,5 + 3 + 4 + 3 = 12,5 (км).

125. Чи правильно, що паралелограмом є чотирикутник, у якому:

1) сусідні сторони паралельні; 2) дві протилежні сторони паралельні;

3) протилежні сторони попарно паралельні?

1) ні; 2) ні; 3) так.

126. Чи правильно, що висотою паралелограма є:

1) пряма; 2) промінь; 3) відрізок?

1) ні; 2) ні; 3) так.

127. Чи правильно, що в будь–якому паралелограмі: 1) сусідні сторони рівні; 2) протилежні сторони попарно рівні; 3) сусідні кути рівні; 4) протилежні кути попарно рівні?

1) ні; 2) так; 3) ні; 4) так.

131. За даними таблиці 4 знайдіть довжину сторони паралелограма

ABCD, яка паралельна заданій його стороні.

АВ	15 см		1,8 мм
BC		2,1 дм		0,33 м
CD	15 см		1,8 мм
AD		2,1 дм		0,33 м

136. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°. Доведіть.

Дано: ABCD – паралелограм;

Довести: ∠А + ∠В = 180°.

Доведення

∠А і ∠В – внутрішні односторонні кути при ВС ∥ AD і січній АВ.

За властивістю паралельних прямих: ∠А + ∠В = 180°.

141. Чи можуть усі кути паралелограма бути гострими?

Якщо ∠А і ∠В – гострі, то ∠А + ∠В < 180°, що суперечить властивості паралелограма.

Відповідь: ні.

149. Основа піраміди — паралелограм ABCD (мал. 47). Знайдіть кути паралелограма, якщо ∠A = 35°.

Дано: ABCD – паралелограм; ∠А = 35°.

Знайти: кути паралелограма.

Розв’язання

За властивістю паралелограма:

∠А + ∠В = 180°;

∠В = 180° – ∠А;

∠В = 180° – 35° = 145°.

∠С = ∠А = 35°; ∠D = ∠B = 145° – за властивістю паралелограма.

Відповідь: 35°; 145°; 35°; 145°.

150. Основа піраміди — паралелограм ABCD (мал. 47). Знайдіть усі сторони паралелограма, якщо AB = 3 см, BC = 0,6 дм.

Дано: ABCD – паралелограм;

АВ = 3 см; ВС = 0,6 дм.

Знайти: CD, AD.

Розв’язання

За властивістю паралелограма:

CD = AB = 3 см; AD = BC = 0,6 дм.

Відповідь: 3 см; 0,6 дм.

172. Один із кутів паралелограма в три рази більший за інший. Висота, проведена з вершини тупого кута, ділить протилежну сторону на два відрізки, які дорівнюють 2 см і 4 см. Знайдіть висоту паралелограма.

Дано: ABCD – паралелограм;

∠В > ∠A в 3 р.; ВН – висота;

АН = 2 см; HD = 4 см.

Знайти: ВН.

Розв’язання

Нехай ∠А = х°, тоді ∠В = 3х°.

За властивістю паралелограма: ∠А + ∠В = 180°;

х + 3х = 180;

4х = 180;

х = 45; ∠А = 45°.

∆АНВ (∠Н = 90°):

∠АВН = 90° – ∠А = 90° – 45° = 45°.

Тоді ∆АНВ – рівнобедрений.

ВН = АН = 2 (см).

Відповідь: 2 см або 4 см.

176. На малюнку зображено два однакові колеса (мал. 53). Стрижень AB, довжина якого дорівнює відстані CD між центрами

коліс, передає рух від одного колеса до іншого. 1. Яким може бути взаємне розміщення стрижня AB та лінії центрів CD? A. AB ⊥ CD.

Б. AB ∥ CD. B. AB ∥ CD лежать на прямих, що не перетинаються.

Г. He можна визначити. 2. Уявіть, що стрижень AB зламався. Як його відновити? Запропонуйте власний план дій.

АВ = CD;

1. AB ∥ CD.

177. Для проведення паралельних прямих використовують паралельні лінійки (мал. 54). 1. Поясніть, як виготовити такий прилад. 2. Поясніть, як користуватися цим приладом. 3. На якій властивості ґрунтується будова приладу?

1. Прилад складається з двох паралельних лінійок, які закріплені між собою нерухомими рейками.

2. Прилад використовується, коли одну лінійку прикладають до вже проведеної лінії, а іншою, рухаючи вздовж нерухомої рейки, проводять нову паралельну лінію.

3. Цей пристрій працює на основі властивості того, що паралельні прямі не перетинаються.

184. Дано чотирикутник KLMN. Доповніть дані в таблиці 7 так, щоб

наведений висновок був правильним.

KL	4 см	5,3 дм	1,5 см	0,3 дм
LM	6 см	3 дм	25 мм	5 см
MN	4 см	5,3 дм	1,5 см	0,3 дм
NK	6 см	3 дм	25 мм	5 см

Висновок KLMN – паралелограм.

185. Відомі довжини двох сторін чотирикутника ABCD: 1) AB = З см, AD = 2 см; 2) BC = 2,5 см, CD = 3,7 см. Які довжини мають бути в інших сторін цього чотирикутника, щоб був правильним висновок: ABCD — паралелограм?

1) AB = 3 см, AD = 2 см.

CD = 3 см BC = 2 см.

2) BC = 2,5 см, CD = 3,7 см.

AD = 2,5 см, AB = 3,7 см.

186. Доведіть, що чотирикутник ABCD — паралелограм, якщо:

1) AB = 3 см, BC = 0,4 дм, CD = ЗО мм, AD = 40 мм;

2) AB + BC = 7 см, BC – CD = 3 см, AD = BC = 5 см;

3) АВ : BC : CD : AD = 2 : 1 : 2 : 1.

Дано: ABCD – чотирикутник;

AB = 3 см; BC = 0,4 дм;

CD = 30 мм, AD = 40 мм.

Довести: ABCD – паралелограм.

Доведення

AB = 3 см; CD = 30 мм = 3 см ⇒ AB = CD.

BC = 0,4 дм; AD = 40 мм = 0,4 дм ⇒ BC = AD.

Тоді ABCD – паралелограм.

Дано: ABCD – чотирикутник;

AB + BC = 7 см; BC – CD = 3 см;

AD = BC = 5 см.

Довести: ABCD – паралелограм.

Доведення

AB + BC = 7; AB + 5 = 7; AB = 2 см.

BC – CD = 3; 5 – CD = 3; CD = 2 см.

AB = CD; AD = BC ⇒ ABCD – паралелограм.

Дано: ABCD – чотирикутник;

AB : BC : CD : AD = 2 : 1 : 2 : 1

Довести: ABCD – паралелограм.

Доведення

Нехай AB = 2x, BC = x, CD = 2x, AD = x.

Отже, AB = CD, BC = AD. Тоді ABCD – паралелограм.

187. Доведіть, що чотирикутник АВCD — паралелограм.

Дано: ABCD – чотирикутник;

AB = 0,5 дм; BC = 2,7 см;

CD = 5 см; AD = 27 мм.

Довести: ABCD – паралелограм.

Доведення

AB = 0,5 дм; CD = 5 см = 0,5 дм ⇒ AB = CD.

BC = 2,7 см; АD = 27 мм = 2,7 см ⇒ BC = AD.

Тоді ABCD – паралелограм.

Дано: ABCD – чотирикутник;

AB – AD = 3 см; CD = 2BC;

AB = CD = 6 см.

Довести: ABCD – паралелограм.

Доведення

AB – AD = 3; 6 – AD = 3; АD = 3 см.

CD = 2BC; 6 = 2BC;BC = 3 см.

AD = BC; AB = CD ⇒ ABCD – паралелограм.

188. У чотирикутнику АВCD АВ = CD, BC = AD. Знайдіть: 1) АВ, якщо CD = 4 см; 2) BC, якщо AD = 2 см; 3) ∠B, якщо ∠D = 120 ;

4) ∠A, якщо ∠C = 60°.

Дано: ABCD – чотирикутник;

AB = CD, BC = AD.

Знайти:

1) АВ, якщо CD = 4 см.

AB = CD = 4 см.

2) BC, якщо AD = 2 см.

BC = AD = 2 см.

3) ∠В, якщо ∠D = 120°;

∠B = ∠D = 120°.

4) ∠А, якщо ∠С = 60°;

∠С = ∠А = 60°.

189. У чотирикутнику MNKP протилежні сторони попарно рівні. Знайдіть: 1) кут М, якщо ∠K = 35°; 2) MN, якщо KP = 5 см.

Дано: MNKP – чотирикутник;

K = 35°, MN = PK, NK = MP.

Знайти:

1) ∠М, якщо ∠K = 35°;

∠М = ∠К = 35°;

2) MN, якщо KP = 5 см;

MN = KP = 5 см.

190. У чотирикутнику KLMN дві сторони паралельні. Доповніть дані таблиці 8 так, щоб наведений висновок був правильним.

KL	4 см		1,5 см
LM		3 дм		0,6 дм
MN	4 см		15 мм
NK		3 дм		6 см

KL ∥ MN LM ∥ KN KL ∥ MN LM ∥ KN.

Висновок KLMN – паралелограм.

191. Відомі довжини двох сторін чотирикутника ABCD: 1) AB = CD = 2 см; 2) BC = AD = 7 см. Які сторони цього чотирикутника мають бути паралельними, щоб був правильним висновок: ABCD — паралелограм?

Дано: ABCD – чотирикутник.

1) якщо AB = CD = 2 см, то AB ∥ CD.

2) якщо BC = AD = 7 см, то BC ∥ AD.

192. Доведіть, що чотирикутник ABCD — паралелограм.

Дано: ABCD – чотирикутник АD ∥ BC, AD = 0,5 дм, BC = 50 мм.

Довести: ABCD – паралелограм.

Доведення

AD = 0,5 дм; BC = 50 мм = 0,5 дм ⇒ AD = BC.

AD ∥ BC; AD = BC ⇒ ABCD – паралелограм.

Дано: ABCD – чотирикутник;

AB ∥ CD, AB = 2 см, CD = 0,02 м.

Довести: ABCD – паралелограм.

Доведення

AB = 2 см; CD = 0,02 м = 2 см ⇒ AB = CD.

AB ∥ CD; AB = CD ⇒ ABCD – паралелограм.

Дано: ABCD – чотирикутник;

AB = CD; ∠BAD = 45°,

∠ADC = 135°.

Довести: ABCD – паралелограм

Доведення

∠BAD і ∠ADC – внутрішні односторонні кути при прямих AB і CD і січній AD.

∠BAD + ∠ADC = 45° + 135° = 180°;

Тоді за ознакою паралельних прямих AB ∥ CD.

AB ∥ CD; AB = CD ⇒ ABCD – паралелограм.

195. Діагоналі чотирикутника KLMN перетинаються в точці О. Відомі

довжини їхніх частин: 1) KO = 2 см, NO = 3 см; 2) LO = 3,5 см, MO = 1,9 см. Які довжини мають бути в інших частин діагоналей цього чотирикутника, щоб був правильним висновок: KLMN — паралелограм.

Дано: KLMN – чотирикутник;

KO = 2 см, NO = 3 см.

Знайти: MO, LO.

Розв’язання

У паралелограма діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Тоді МО = KO = 2 см, LO = NO = 3 см.

Відповідь: 2 см, 3 см.

Дано: KLMN – чотирикутник;

LO = 3,5 см; МО = 1,9 см.

Знайти: MO, KO.

Розв’язання

У паралелограма діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Тоді NO = LO = 3,5 см; KO = MO = 1,9 см.

Відповідь: 3,5 см; 1,9 см.

200. У піраміді SABCD (мал. 68) AB = 4 см, BC = 0,7 дм, DC = 40 мм, AD = 70 мм. Доведіть, що основа піраміди — паралелограм.

Дано: SABCD – піраміда; AB = 4 см; BC = 0,7 дм; DC = 40 мм; AD = 70 мм.

Довести: ABCD – паралелограм.

Доведення

AB = 4 см; DC = 40 мм = 4 см ⇒ AB = DC.

BC = 0,7 дм; AD = 70 мм = 0,7 дм ⇒ BC = AD.

Тоді ABCD – паралелограм.

201. Доведіть, що основою піраміди SABCD (мал. 68) є паралелограм, якщо AB ∥ DC, AB = 65 мм, DC = 6,5 см.

Дано: SABCD – піраміда; AB ∥ DC; AB = 65 мм;

DC = 6,5 см.

Довести: ABCD – паралелограм.

Доведення

AB = 65 мм; DC = 6,5 см = 65 мм ⇒ AB = DC.

AB = DC; AB ∥ DC ⇒ ABCD – паралелограм.

213. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці О. Доведіть, що чотирикутник MNPK, вершинами якого є середини

відрізків OA, OB, OC і OD, — паралелограм.

Дано: ABCD – чотирикутник;

AB = CD, ∠A + ∠D = 180°.

Довести: AD = BC.

Доведення

∠А і ∠D – внутрішні односторонні кути при прямих AB і DC і січною AD.

∠A + ∠D = 180°.

Тоді за ознакою паралельності прямих AB ∥ DC.

AB ∥ DC; AB = CD ⇒ ABCD – паралелограм

220. Поясніть принцип дії: механічної рейсшини (мал. 74); терезів (мал. 75).

Принцип дії механічної рейсшини: прилад прикладається до креслення так само, як звичайна лінійка і через позначені точки проводиться лінія.

Рейсшина використовується для проведення паралельних ліній.

Принцип дії терезів:

це прилад, у якому вага предмета перетворюється на кут повороту стрілки через систему важелів. Тому стрілка показує масу без потреби підбирати гирі.

221. На малюнках 76 і 77 зображено шарнірні пристрої для регулювання висоти. 1. Поясніть, як користуватися цими пристроями. 2. Чому за всіх можливих положень сторони CD вісь MN лампи завжди вертикальна, а площина кільця — горизонтальна?

3. Поясніть, як виготовити такі пристрої.

Шарнірні пристрої для регулювання висоти.

Принцип дії: паралелограм дає можливість регулювати висоту і відстань не змінюючи нахил.

222. Чи правильно, що прямокутником є паралелограм, у якому:

1) усі сторони рівні; 2) усі кути прямі?

1) ні; 2) так.

223. Чи правильно, що прямокутник має всі властивості паралелограма? Відповідь поясніть.

Так.

225. Чи правильно, що діагоналі прямокутника: 1) нерівні; 2) рівні?

1) ні; 2) так.

226. Чи правильно, що паралелограм є прямокутником, якщо його діагоналі: 1) нерівні; 2) рівні?

1) ні; 2) так.

232. На малюнках 88, 89 зображено прямокутники. Знайдіть кути 1, 2 і 3.

мал.88.

∠1 = 90° – 55° = 35°;

∠2 = 180° – 55° = 125° – як внутрішні односторонні кути при

BC ∥ AD і січній AK.

∠3 = 55°, внутрішні різносторонні кути при BC ∥ AD і січній AK.

Відповідь: 35°; 125°; 55°.

мал.89.

∆МКР (∠К = 90°):

∠1 = 90° – 60° = 30°

∆МОК – рівнобедрений; ∠OKM = ∠1 = 30°.

∠MOK = 180° – (30° + 30°) = 120°.

∠2 = 180° – ∠MOK = 180° – 120° = 60°.

∠3 = ∠OKM = 30° – як внутрішні різносторонні кути при NP ∥ MK і січні NK.

Відповідь: 30°; 60°; 30°.

239. Чотирикутник KLMN — паралелограм. Доповніть дані таблиці 12 так, щоб наведений висновок був правильним.

KM	4 см	3 дм	1,5 дм	2,7 см
LN	4 см	3 дм	1,5 дм	2,7 см

Висновок KLMN – прямокутник.

240. Одна з діагоналей паралелограма ABCD має довжину:

1) AC = 2 см; 2) BD = 7 см. Якої довжини має бути інша його діагональ, щоб був правильним висновок: ABCD — прямокутник?

ABCD – прямокутник, якщо

1) AC = 2 см; BD = 2 см.

2) BD = 7 см; AC = 7 см.

241. У паралелограмі KLMN діагоналі утворюють рівні трикутники:

1) KLM і MNK; 2) LMN і NKL. Доведіть, що KLMN — прямокутник.

Дано: KLMN – паралелограм.

∆KLN = ∆MNK.

Довести: KLMN – прямокутник.

Доведення

Якщо ∆KLN = ∆MNK, то LN = MK як відповідні сторони рівних трикутників. Тоді за ознакою KLMM – прямокутник.

Дано: KLMN – паралелограм;

∆LMN = ∆MKL.

Довести: KLMM – прямокутник.

Доведення

Оскільки ∆LMN = ∆MKL, то LN = MK, як відповідні сторони рівних трикутників. Тоді за ознакою KLMN – прямокутник.

245. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 8 см, ширина —

у 2 рази менша за висоту, а довжина — на 16 см більша за ширину.

Знайдіть ширину й довжину прямокутного паралелепіпеда.

Дано: прямокутний паралелепіпед;

с = 8 см, b < c у 2 р., a > b на 16 см

Знайти: a; b.

Розв’язання

b = c : 2 = 8 : 2 = 4 (см);

а = b + 16 = 4 + 16 = 20 (см).

Відповідь: 4 см; 20 см.

246. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 18 см, ширина — у 3 рази менша за висоту, а довжина — у 4 рази більша за ширину. Знайдіть ширину й довжину прямокутного паралелепіпеда.

Дано: прямокутний паралелепіпед c = 18 см b < c у 3 р., а < b у 4 р. Знайти: a, b.

Розв’язання

b = c : 3 = 18 : 3 = 6 (см);

а = 4 • b = 4 • 6 = 24 (см).

Відповідь: 6 см; 24 см.

260. У основи паралелепіпеда всі кути рівні. Доведіть, що цей паралелепіпед — прямокутний.

Дано: паралелепіпед; в основі – усі кути рівні.

Довести: паралелепіпед – прямокутний.

Доведення

Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°, тоді 360° : 4 = 90°.

В основі паралелепіпеда лежить прямокутник, тоді паралелепіпед – прямокутний.

261. У паралелепіпеда гранями є чотирикутники, у яких усі кути є

прямими. Доведіть, що цей паралелепіпед — прямокутний.

Дано: паралелепіпед; грані – чотирикутники, у яких усі кути є прямими.

Довести: паралелепіпед – прямокутний.

Доведення

Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°, тоді 360° : 4 = 90°.

Всі бічні грані паралелепіпеда – прямокутники, тоді паралелепіпед – прямокутний.

272. Щоб виміряти на місцевості відстань між пунктами А і В, між якими не можна пройти (мал. 97), побудували прямі кути BAD і ABC.

Потім на сторонах кутів відклали рівні відрізки AD і BC. 1. Поясніть, якою фігурою є чотирикутник ABCD. Мал. 97 2. Як знайти відстань AB?

∠BAD = ∠ABC = 90°, AD = BC.

1) ABCD – прямокутник;

2) AB = DC.

273. Учень виготовляв рамку прямокутної форми. Щоб перевірити правильність виготовлення рамки, він перевірив рівність її діагоналей. Чи достатньо такої перевірки? Чому?

Ні, потрібно ще перевірити рівність протилежних сторін.

274. Якими способами можна перевірити, що даний чотирикутний предмет має форму прямокутника? Відповідь поясніть.

Можна перевірити, що в даного чотирикутного предмета протилежні сторони попарно рівні та діагоналі рівні.

275. На малюнку 98 зображено прилад для вимірювання діаметра колод. 1. Поясніть, як користуватися цим приладом. 2. Чому відлік на горизонтальній лінійці приладу відповідає діаметру колоди? 3. Якщо відлік на горизонтальній лінійці приладу дорівнює 20 см, то

який діаметр колоди? 4. Поясніть, як виготовити такий прилад.

1) діаметр колоди відповідає горизонтальній лінійці

2) у прямокутника протилежні сторони рівні

3) 20 см.

276. Провішена на місцевості пряма упирається в будівлю (мал. 99).

Поясніть, як продовжити пряму за будівлю.

Тимчасово «обійти» перешкоду паралельною прямою до даної.

277. Чи правильно, що ромбом є паралелограм, у якому:

1) протилежні сторони попарно рівні; 2) усі сторони рівні?

1) ні; 2) так.

278. Чи має ромб усі властивості паралелограма? Відповідь поясніть.

Так.

280. Чи є ромбом будь–який паралелограм, у якого діагоналі:

1) рівні; 2) взаємно перпендикулярні; 3) ділять кути ромба навпіл?

1) ні; 2) так; 3) так.

281. Чи правильно, що паралелограм є ромбом, якщо його діагоналі: 1) перетинаються під гострим кутом; 2) взаємно перпендикулярні.

1) ні; 2) так.

282. Чи правильно, що квадратом є прямокутник, у якому:

1) дві сусідні сторони нерівні;

2) усі сторони рівні?

1) ні; 2) так.

283. Чи має квадрат усі властивості прямокутника? Відповідь поясніть.

Так. У квадрата всі кути прямі, діагоналі рівні.

284. Чи має квадрат усі властивості ромба? Відповідь поясніть.

Так. У квадрата всі сторони рівні, діагоналі взаємно перпендикулярні.

285. Чи правильно, що у квадраті: 1) протилежні сторони рівні й паралельні; 2) сусідні сторони рівні та взаємно перпендикулярні; 3) протилежні кути рівні; 4) усі кути рівні?

1) так; 2) так; 2) так; 4) так.

286. Чи правильно, що діагоналі квадрата: 1) рівні; 2) взаємно перпендикулярні; 3) ділять кути навпіл; 4) точкою перетину діляться навпіл?

1) так; 2) так; 3) так; 4) так.

291. Периметр ромба дорівнює 12 см. Знайдіть сторону ромба.

Дано: ромб; Р = 12 см.

Знайти: сторону ромба.

Розв’язання

У ромба всі сторони рівні.

Р : 4 = 12 : 4 = 3 (см).

Відповідь: 3 см.

303. У чотирикутнику KLMN протилежні сторони паралельні. До­

повніть дані в таблиці 16 так, щоб наведений висновок був правильним.

KL	5 см	2 дм	2,5 см	4 см
LM	5 см	2 дм	2,5 см	0,4 дм
MN	5 см	2 дм	25 мм	4 см
MK	5 см	2 дм	2,5 см	4 см

KM ⊥ LN KM ⊥ LN KM ⊥ LN KM ⊥ LN

Висновок KLMN – ромб.

304. Відомі довжини двох паралельних сторін чотирикутника ABCD:

1) AB = CD = 3 см; 2) BC = AD = 4 см. Які елементи цього чотирикутника мають бути перпендикулярними, щоб був правильним висновок: ABCD — ромб.

1) AB = CD = 3 см.

AC ⊥ BD, тоді ABCD – ромб.

2) BC = AD = 4 см.

АС ⊥ BD, тоді ABCD – ромб.

308. Дано паралелограм KLMN. Доповніть дані в таблиці 17 так, щоб наведений висновок був правильним.

KL	5 см	2 дм	2,5 см	0,4 дм
LM	5 см	2 дм	2,5 см	4 см
MN	5 см	2 дм	25 мм	4 см
MK	5 см	2 дм	2,5 см	4 см

KM ⊥ LN KM ⊥ LN KM ⊥ LN KM ⊥ LN

Висновок KLMN – квадрат.

311. Чи може лише одна грань прямокутного паралелепіпеда мати

форму квадрата?

Не може.

312. Знайдіть суму площ усіх граней куба, якщо сума довжин ребер

однієї грані дорівнює 16 см.

Дано: куб; Р_гр. = 16 см.

Знайти: суму площ усіх граней.

Розв’язання

Р : 4 = 16 : 4 = 4 (см) – довжина ребра.

S = 4² = 16 (см²) – площа однієї грані.

6 • 16 = 96 (см²) – сума площ усіх граней.

Відповідь: 96 см².

313. Знайдіть суму площ усіх граней куба, якщо сума довжин усіх його ребер дорівнює 132 см.

Дано: куб; L = 132 см.

Знайти: суму площ усіх граней.

Розв’язання

L : 12 = 132 : 12 = 11 (см) – довжина ребра;

S = 11² = 121 (см²) – площа однієї грані;

6 • 121 = 726 (см²) – сума площ усіх граней.

Відповідь: 726 см².

339. Швачка викроїла з тканини чотирикутник, який має бути ромбом. Щоб перевірити правильність викрійки, вона перегнула

тканину за однією діагоналлю й переконалася, що краї тканини суміщаються. Чи є правильною така перевірка? Якщо ні, то

запропонуйте свій спосіб перевірки.

Краї тканини мають суміститися по двом діагоналям.

340. За схемами розсувного кронштейна (мал. 120) і розсувної решітки (мал. 121) поясніть: 1) чому точки А, В, С, D... завжди лежать на одній прямій; 2) як виготовити такі конструкції.

1) Промені ВА і ВС є доповняльними, тоді точки А, В, С лежать на одній прямій.

2) Потрібно підготувати планки однієї довжини. Ці планки з’єднати болтами у перехресні ланки.

341. Яку найменшу кількість разів потрібно перегнути чотирикутний шматок тканини, щоб переконатися в тому, що він має форму квадрата?

Два.

342. Щоб перевірити, чи має стільниця форму квадрата, столяр виміряв її сторони й переконався, що вони рівні. 1. Чи є правильною така перевірка? 2. Чи достатньо виміряти діагоналі стільниці й переконатися, що вони рівні? 3. Чи матиме стільниця форму квадрата, якщо її сторони рівні й діагоналі рівні?

1) ні; 2) ні; 3) так.

343. Земельна ділянка, яка має форму квадрата, була обнесена парканом. Із часом від паркану залишилося два стовпці у протилежних вершинах квадрата. Як відновити межу ділянки?

Точка О – середина відрізка AB.

Через точку О провести пряму, перпендикулярну до AB. На цій прямій відкласти від точки О відрізки ОК і ОС завдовжки ОА.

344. Наталка вирішила перевірити, чи має серветка форму квадрата. Вона перегнула її за діагоналлю й переконалася, що краї обох половинок серветки сумістилися. Але їй зауважили, що така перевірка є недостатньою. Потрібно перегнути серветку за кожною діагоналлю. Якщо в обох випадках краї серветки сумістяться, то вона має форму квадрата. 1. Чи правильно діяла учениця? 2. Чи правильно їй порадили? Відповідь поясніть.

1. Учениця діяла неправильно.

2. порада не є правильною, оскільки це може бути ромб.

345. Чи правильно, що в теоремі Фалеса йдеться про те, що: 1) сторони кута перетинають будь–які прямі; 2) сторони кута перетинають паралельні прямі; 3) усі утворені відрізки дорівнюють один одному; 4) дорівнюють один одному лише відрізки, утворені на одній стороні кута; 5) дорівнюють один одному відрізки, утворені на кожній стороні кута, але два відрізки на різних сторонах кута можуть мати не таку саму довжину?

1) ні; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) так.

346. Чи правильно, що середня лінія трикутника сполучає середини:

1) усіх сторін трикутника; 2) двох сторін трикутника.

1) ні; 2) так.

347. Чи правильно, що середня лінія трикутника: 1) перетинає третю сторону трикутника; 2) паралельна третій стороні трикутника; 3) дорівнює половині будь–якої сторони трикутника; 4) дорівнює половині третьої сторони трикутника?

1) ні; 2) так; 3) ні; 4) так.

353. Поділіть даний відрізок на вказану кількість рівних частин:

1) 4; 2) 6.

1) Поділ відрізка на 4 рівні частини.

2) поділ відрізка на 6 рівних частин.

369. Точки E i F — середини ребер куба (мал. 141). Знайдіть суму

довжин діагоналей граней куба, якщо EF = 4 см.

Дано: куб; E, F – середина ребер; EF = 4 см.

Знайти: суму довжин діагоналей граней.

Розв’язання

2 • EF = 2 • 4 = 8 (см) – довжина діагоналі.

8 • 12 = 96 (см) – сума довжин діагоналей.

Відповідь: 96 см.

653. За даними на малюнку 302 доведіть:

Довести:

1) a : c = b : d.

Оскільки 2 прямі перетинають паралельні прямі, то за узагальненою теоремою Фалеса a : c = b : d.

2) a : c = (a + b) : (c + d);

a : c = b : d = k, тоді a = kc; b = kd;

a+ bc+ d = kc+ kdc+ d = k(c+ d)c+ d = k = ac;

Отже, a : c = (a + b) : (c + d).

3) a : c = (b – a) : (d – c) ;

a : c = b : d = k, тоді

a = kc, b = kd;

b – а = kd – kс;

b – а = k(d – c) |: (d – c);

b- ad- c = k;

b- ad- c = ac;

Отже, a : c = (b – а) : (d – c).

659. Для зменшення або збільшення відрізка за певним відношенням застосовують пропорційний циркуль (мал. 305). Поясніть, на чому ґрунтується спосіб його використання.

Спосіб використання пропорційного циркуля ґрунтується на незмінній пропорції між відповідними сторонами подібних трикутників, які утворюють ніжки інструмента.

660. Вулиці Садова та Квітнева беруть свій початок біля Ботанічного саду. їх перетинають паралельні вулиці Трояндова й Вишнева. Відстань між Садовою та Квітневою за Трояндовою вулицею дорівнює 750 м, а за Вишневою — 1 км 250 м. Трамвай рухається Садовою вулицею й долає шлях від Ботанічного саду до Трояндової вулиці за 15 хв. Скільки часу йому знадобиться, щоб дістатися Вишневої вулиці, не змінюючи швидкості?

∆DAB ~ ∆EAC: DBEC = ABAC;

7501250 = 15x; x = 1250•15750 = 25 (хв).

25 хв – час руху від Ботанічного саду до Вишневої вулиці.

25 – 15 = 10 (хв) – час руху від Трояндової вулиці до Вишневої.

Відповідь: 10 хв.

661. Знайдіть відстань між двома садибами (позначимо їх А і В), які

розташовані на протилежних берегах річки (мал. 306), якщо

AM ∥ BN і CA = 4 м, CM = 5 м, MN = 35 м.

∆МСА ~ ∆NCB.

CACB = CMCN;

AB = x, тоді CB = 4 + x.

44+ x = 540;

20 + 5x = 160;

5x = 160 – 20;

5x = 140;

x = 28.

AB = 28 м.

Відповідь: 28 м.

662. Тінь від башти дорівнює 24 м, а вертикальний шест завдовжки

1,2 м в ту саму пору дня має тінь завдовжки 80 см. Яка висота башти?

24 м = 2400 см; 1,2 м = 120 см;

х120 = 240080;

x = 120•240080 = 3600.

3600 см = 36 м – висота башти.

Відповідь: 36 м.

663. Чи правильно, що в першій ознаці подібності трикутників ідеться про: 1) сторони даних трикутників; 2) кути даних трикутників; 3) рівність двох кутів трикутника; 4) рівність двох кутів даних трикутників; 5) рівність двох відповідних кутів даних трикутників?

1) ні; 2) ні; 3) ні; 4) ні; 5) так.

664. Чи правильно, що рівносторонні трикутники: 1) рівні; 2) подібні.

1) ні; 2) так.

690. Пряма KP перетинає ребра SB і SC піраміди й відтинає від грані трапецію BKPC (мал. 319). Обґрунтуйте подібність трикутників BSC і

KSP.

У трапеції ВКРС КР ∥ BC.

Отже, ∆BSC ~ ∆KSP.

691. Кожне ребро піраміди SABC дорівнює т. Відрізок KP грані BSC відтинає від неї трапецію BKPC (мал. 319). Знайдіть:

1) сторону KP трикутника KSP, якщо його периметр дорівнює;

2) меншу сторону трапеції ВКРС, якщо її периметр дорівнює Р.

Дано: SABC – піраміда; ВКРС – трапеція;

m – довжина ребра.

Знайти:

1) КР, якщо Р_∆KSP = p.

∆BSC – рівносторонній, тоді КР = 13 Р_∆BSC = 13 p.

KB = РC – за умовою.

∆KSP ~ ∆BSC, тоді SK = k • SB = km.

KB = SB – SK = m – km;

P = KB + KP + PC + BC = 2KB + KP + BC;

P = 2(m – km) + km + m = 2m – 2km + km + m = 3m – km.

km = 3m – P;

KB = m – (3m – P) = m – 3m + P = P – 2m.

Відповідь: 1) 13 p; 2) Р – 2m.

714. Доведіть, що трикутники з відповідно перпендикулярними сторонами — подібні.

Дано: ∆ABC і ∆А₁В₁С₁;

АВ ⊥ А₁В₁, ВС ⊥ В₁С₁;

АС ⊥ A₁С₁.

Довести: ∆АВС ~ ∆А₁В₁С₁.

Доведення

АВ ⊥ А₁В₁; АС ⊥ A₁С₁ ⇒ ∠A = ∠A₁;

АВ ⊥ А₁В₁; ВС ⊥ В₁С₁ ⇒ ∠B = ∠B₁.

Отже, ∆АВС ~ ∆А₁В₁С₁ – за двома кутами.

724. Проведемо три прямі через сторони трикутника та ще три прямі — через його вершини паралельно протилежним сторонам. Цими

прямими площина трикутника розбивається на 16 областей (мал. 324). Пряма, яка перетинає дві сторони трикутника й паралельна третій його стороні, відтинає від нього подібний трикутник.

Дослідіть, якій з областей належать точки, через які: 1 ) не можна провести жодної такої прямої; 2) можна провести тільки одну таку пряму; 3) можна провести тільки дві такі прямі; 4) можна провести три такі прямі.

1) 0 і 1; 2) не має; 3) не має; 4) 2 і 3.

725. Триповерховий будинок на світлині має висоту 8 мм. Знаючи, що його справжня висота дорівнює 13 м, а глибина камери фотоапарата — 12 см, визначте, на якій відстані від будинку був розміщений фотоапарат.

8 мм – 12 см;

13 м – ? см;

13 м = 13000 мм.

813000 = 12х;

x = 13000•128 = 19500 (см) = 195 м.

Відповідь: 195 м.

726. У трикутнику ABC всі вершини недоступні (мал. 325). Як визначити довжини всіх його сторін?

Потрібно побудувати подібний трикутник, сторони якого паралельні сторонам даного трикутника.

727. На ділянці шляху завдовжки 320 м підйом однаковий. На кінцях ділянки стоять позначки 186,5 м і 194,9 м. 1. Яка позначка відповідає початку ділянки? 2. Яка позначка стоїть наприкінці ділянки? 3. Якою має бути позначка, що відповідає середині ділянки? 4. Яка позначка має бути на відстані 120 м від початку підйому?

1. 186,5 м – позначка на початку ділянки.

2. 194,9 м – позначка наприкінці ділянки.

3. Позначка на середині ділянки.

1) 194,9 – 186,5 = 8,4 (м);

2) 8,4 : 2 = 4,2 (м);

3) 186,5 + 4,2 = 190,7 (м).

4. Позначка на відстані 120 м від початку підйому.

8,4 м – 320 м;

х м – 120 м;

8,4х = 320120;

x = 8,4•120320 = 3,15 (м);

186,5 + 3,15 = 189,65 (м).

Відповідь: 1) 186,5 м; 2) 194,9 м; 3) 190,7 м; 4) 189,65 м.

728. Із селища виходять три дороги в напрямках: 1) південно–західному; 2) південному; 3) південно–східному. Якою б дорогою не йшов пішохід із селища, відношення його відстаней до двох інших доріг залишається сталим. Поясніть чому це так.

На одному з трьох променів візьмемо дві точки і проведемо із них перпендикуляри до двох інших променів.

∆OKL ~ ∆OPM – за двома кутами.

Тоді LKMP = k.

Якою б дорогою найшов пішохід із селище, відношення його відстаней до двох інших доріг залишається сталим.

729. Чи правильно, що в другій ознаці подібності трикутників ідеться про: 1) дві сторони та два кути даних трикутників; 2) дві сторони й кут даних трикутників; 3) рівність двох відповідних сторін даних трикутників; 4) рівність відповідних кутів даних трикутників; 5) рівність двох відповідних сторін і кутів між ними даних трикутників; 6) пропорційність двох відповідних сторін і рівність кутів між ними даних трикутників.

1) ні; 2) ні; 3) ні; 4) ні; 5) так.

730. Чи правильно, що прямокутні трикутники з відповідно пропорційними катетами: 1) рівні; 2) подібні?

1) ні; 2) так.

731. Чи правильно, що в третій ознаці подібності трикутників ідеться

про: 1) кути даних трикутників; 2) сторони й кути даних трикутників; 3) рівність сторін даних трикутників; 4) пропорційність відповідних сторін даних трикутників?

1) ні; 2) ні; 3) ні; 4) так.

740. У трикутнику ВАС на сторонах BA і BC взято точки М і Р. Чи подібні трикутники ВАС і BMP, якщо: 1) BA = 10 см, BC = 12 см, AM = 5 см, CP = 6 см; 2) BA = 22 см, BC = 16 см, AM = 11 см, CP = 10 см?

Дано: ∆ВАС, М ∈ ВА, Р ∈ ВС.

Чи подібні ∆ВАС і ∆ВМР, якщо:

1) ВА = 10 см, ВС = 12 см, АМ = 5 см,

СР = 6 см.

ВАВМ = ВСВР; 1010-5 = 1212-6; 105 = 126; 21 = 21;

Отже, ∆ВАС ~ ∆ВМР.

2) ВА = 22 см, ВС = 16 см, АС = 11 см, СР = 10 см.

ВАВМ = ВСВР; 2222-5 = 1616-6; 2217 ≠ 1610.

Отже, ∆ВАС ≁ ∆ВМР.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

749. Які з трьох прямокутних трикутників подібні, якщо їхні катети

дорівнюють: 1 см і 24 см; 5 см і 12 см; 25 мм і 0,6 дм?

Дано: прямокутні трикутники з катетами 1 см і 24 см; 5 см і 12 см; 25 мм і 6 см.

Знайти: подібні трикутники.

Розв’язання

У подібних трикутників відповідні сторони пропорційні

5 см2,5 см = 12 см6 см;

Отже, другий і третій трикутники подібні.

757. У рівнобічній трапеції MOPT діагоналі MP і ОТ дорівнюють 7 см

і точкою C їх перетину діляться у відношенні 2 : 5. Сторона MT

на 4 см довша за сторону OP. Знайдіть основи трапеції та периметри трикутників OPC і MTC.

Дано: МОРТ – рівнобічна трапеція,

МР = ОТ = 7 см;

РС : СМ = 2 : 5; МТ > ОР на 4 см.

Знайти: ОМ, ОР, МТ, Р_∆ОРС, Р_∆МТС.

Розв’язання

Нехай РС = 2х см, тоді СМ = 5х см.

МР = РС + СМ;

2х + 5х = 7;

7х = 7; x = 1.

PC = 2 • 1 = 2 (см), СМ = 5 • 1 = 5 (см).

∆ОСР ~ ∆МСТ (за двома кутами), тоді ОРМТ = 25.

Нехай ОР = у, тоді МТ = у + 4. уу+4 = 25;

5y = 2y + 8;

3у = 8;

у = 83 = 223. ОР = 223 см; МТ = 223 + 4 = 623 см.

Рівнобічна трапеція описана навколо кола, тоді ОР + МТ = МО + РТ

2МО = 223 + 623;

2МО = 843;

2МО = 283; МО = 286 = 446 = 423 (см);

РТ = МО = 423 см.

Р_∆ОРС = ОР + РС + ОС = 223 + 2 + 2 = 623 (см);

Р_∆МТС = МТ + ТМ + СМ = 623 + 5 + 5 = 1623 (см).

Відповідь: 423 см, 223 см, 623 см, 623 см, 1623 см.

781. Як знайти відстань між двома пунктами А і В, між якими не можна пройти?

Побудуємо ∠BAD. Від точки D побудуємо ∠ADC, що дорівнює ∠BAD.

Тоді AB ∥ CD за ознакою паралельності прямих.

∆АОВ ~ ∆DOC за двома кутами.

AOOD = ABCD; АВ = AO• CDOD.

782. У певний момент часу тінь від двометрової віхи мала довжину

1,4 м, а тінь від дерева (якщо міряти від стовбура) — 6,3 м. Визначте висоту дерева, знаючи, що діаметр стовбура біля землі дорівнює

1,2 м.

Тінь від віхи – 1,4 м; висота – 2 м.

Тінь від дерева – 6,3 м; висота – ? м.

Діаметр стовбура – 1,2 м.

Розв’язання

6,3 + 0,6 = 6,9 (м) – справжня довжина тіні.

У подібних трикутників відповідні сторони пропорційні.

1,46,9 = 2x;

x = 6,9•21,4 = 9,8;

9,8 м – висота дерева.

Відповідь: 9,8 м.

783. Чому вдень за тінню можна визначити висоту дерева, а вночі за

тінню від ліхтаря — ні?

Вдень тіні утворюють подібні трикутники, в вночі тіні неподільні.

Тому вдень за тінню можна визначити висоту дерева.

784. Щоб поділити відрізок AB на три рівні частини, діяли так. На промені AD, що не збігається з AB, відклали рівні відрізки AE і EK. Потім на промені KB побудували точку T так, щоб KB = BT. Пряма TE поділила відрізок AB у відношенні 2 : 1.

Отже, одержали, що менший з утворених відрізків дорівнює третині AB. Більший з утворених відрізків поділили навпіл.

Обґрунтуйте таку побудову.

СВ = 13АВ.

785. У трикутнику KLM проведено медіани KK₁, LL₁, MM₁, які перетинаються в точці О. Чи правильно, що:

1) КО : ОК₁ = 2 : 1 – так.

2) L₁O : LO = 2 : 1 – ні.

3) ОМ : М₁О = 2 : 1 – так.

787. Чи правильно записано співвідношення для трикутника ACB (мал. 348):

1) ні; 2) ні; 3) так; 4) ні; 5) ні; 6) так; 7) ні; 8) ні; 9) так.

788. Медіани трикутника дорівнюють: 1) 9 см, 12 см і 15 см;

2) 6 см, 6 см і 3 см; 3) 45 см, 45 см і 45 см.

Знайдіть довжини частин, на які вони діляться точкою їх перетину.

1) 9 см, 12 см і 15 см – медіани.

Довжини частин медіани:

6 см і 3 см, 8 см і 4 см, 10 см і 5 см.

2) 6 см, 6 см і 3 см – медіани.

Довжини частин медіани:

4 см і 2 см, 4 см і 2 см, 2 см і 1 см.

2) 45 см, 45 см і 45 см – медіани.

Довжини частин медіани:

30 см і 15 см, 30 см і 15 см, 30 см і 15 см.

789. Медіани трикутника дорівнюють 18 см, 18 см і 27 см. Знайдіть

довжини частин, на які вони діляться точкою їх перетину.

18 см, 18 см і 27 см – медіани.

Довжини частин медіани:

12 см і 6 см, 12 см і 6 см, 18 см і 9 см.

790. Знайдіть довжини медіан трикутника, якщо відстані від точки їх

перетину до вершин трикутника дорівнюють:

1) 12 см, 16 см і 24 см; 2) 4 см, 4 см і б см; 3) 8 см, 8 см і 8 см.

1) Відстані від точки перетину медіан до вершин: 12 см, 16 см і

24 см.

Медіани трикутника:

12 + 6 = 18 см; 16 + 8 = 24 см;

24 + 12 = 36 см.

2) Відстані від точки перетину медіан до вершин: 4 см, 4 см і 6 см.

Медіани трикутника:

4 + 2 = 6 см; 4 + 2 = 6 см; 6 + 3 = 9 см.

3) Відстані від точки перетину медіан до вершин: 8 см, 8 см, 8 см.

Медіани трикутника:

8 + 4 = 12 см; 8 + 4 = 12 см; 8 + 4 = 12 см.

791. Знайдіть довжини медіан трикутника, якщо відстані від точки їх

перетину до вершин трикутника дорівнюють 6 см, 10 см і 14 см.

Відстані від точки перетину медіан до вершин: 6 см, 10 см і 14 см.

Медіани трикутника: 6 + 3 = 9 см, 10 + 5 = 15 см, 14 + 7 = 21 см.

792. У трикутнику ABC проведено бісектрису BD, яка ділить сторону

AC на відрізки AD і DC. Накресліть у зошиті таблицю 27 та

заповніть її.

ADDC = ABBC;

AB	10 см	21 см	3 см	5 см
BC	15 см	18 см	5 см	15 см
AC	20 см	26 см	4 см	12 см
AD	8 см	14 см	1,5 см	3 см
DC	12 см	12 см	2,5 см	9 см

1) Нехай AD = х см, тоді DC = (20 – х) см.

х20-х = 1015;

15х = 200 – 10х;

15х + 10х = 200;

25х = 200;

х = 8; AD = 8 см; DC = 20 – 8 = 12 (см).

2) 14DC = 2118;

DC = 14 •1821 = 12 (см);

AC = AD + DC = 14 + 12 = 25 (см);

3) AD = AC – DC = 4 – 2,5 = 1,5 (см);

1,52,5 = 3ВС;

ВС = 2,5 •31,5 = 5 (см);

4) 3DC = 515;

DC = 3 •155 = 9 (см);

AC = AD + DC = 3 + 9 = 12 (см).

800. Через точку перетину медіан трикутника проведено пряму, паралельну одній зі сторін. У якому відношенні ця пряма ділить інші

сторони трикутника?

Дано: ∆АВС, О – точка перетину медіан,

MN ∥ AB.

Знайти: СММА.

Розв’язання

СО : ОС₁ = 2 : 1 за властивістю медіан трикутника.

За теоремою про пропорційні відрізки:

СММА = СООС1 = 2 : 1.

Відповідь: 2 : 1.

801. У трикутнику зі сторонами 12 см, 18 см і 24 см через точку перетину медіан проведено пряму, паралельну одній зі сторін. Знайдіть сторони утвореного трикутника.

Дано: ∆АВС, О – точка перетину медіан;

MN ∥ AB, АВ = 12 см, ВС = 18 см, АС = 24 см.

Знайти: NC, CM, MN.

Розв’язання

За теоремою про пропорційні відрізки:

СММА = СООС1 = 2 : 1;

MN = 23AB = 23 • 12 = 8 (см);

NС = 23BС = 23 • 18 = 12 (см);

СM = 23AС = 23 • 24 = 16 (см).

Відповідь: 8 см, 12 см, 16 см.

803. Чи правильно, що AK є бісектрисою трикутника ABC, якщо:

1) AB = 12 см, AC = 16 см, BK = 6 см, CK = 8 см;

2) AB = 5 см, AC =15 см, BK = 4 см, CK = 16 см?

1) АВ = 12 см, АС = 16 см, ВК = 6 см, СК = 8 см.

За властивістю бісектриси трикутника:

СКВК = АСАВ; 86 = 1612; 43 = 43. Так.

2) АВ = 5 см; АС = 15 см; ВК = 4 см; СК = 16 см.

За властивістю бісектриси трикутника:

СКВК = АСАВ; 164 = 155; 41 ≠ 31. Ні.

804. Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 12 см, 15 см. Знайдіть

відрізки, на які бісектриса трикутника ділить його найбільшу

сторону.

Дано: ∆АВС; АВ = 8 см;

ВС = 12 см; АС = 15 см.

Знайти: AD i DC.

Розв’язання

За властивістю бісектриси трикутника:

ADDC = ABBC;

Нехай AD = x см, DC = (15 – x) см.

х15-х = 812;

12x = 120 – 8x;

12x + 8x = 120;

20x = 120;

x = 6.

AD = 6 см; DC = 15 – 6 = 9 (см).

Відповідь: 6 см; 9 см.

805. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює

120 см, а бісектриса прямого кута ділить діагональ у відношенні

З : 5.

Дано: Р = 120 см;

АК – бісектриса, BO : OD = 3 : 5.

Знайти: AB, AD.

Розв’язання

∆BAD:

BOOD = ABAD = 35;

Нехай АВ = 3х, тоді AD = 5x;

P = 2(AD + AB);

2(5x + 3x) = 120;

8x = 60;

x = 7,5;

AB = 3 • 7,5 = 22,5 (см);

AD = 5 • 7,5 = 37,5 (см).

Відповідь: 22,5 см; 37,5 см.

806. Сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть відрізки, на які бісектриса кута прямокутника ділить його діагональ, що дорівнює 10 см.

Дано: ABCD – прямокутник;

СК – бісектриса, BD = 10 см,

CD = 6 см; ВС = 8 см.

Знайти: BO; OD.

Розв’язання

∆BCD: BOOD = BCCD.

Нехай ВО = х см, тоді OD = (10 – x) см; х10-х = 86;

6x = 80 – 8x; 6x + 8x = 80;

14x = 80; x = 557; BO = 557 см, OD = 10 – 557 = 427 (см).

Відповідь: 557 см; 427 см.

807. У рівнобічній трапеції ABCD з основами 6 см і 12 см діагональ AC є бісектрисою гострого кута А. Сума бічних сторін трапеції на 1 см

більша за її середню лінію. У якому відношенні діагональ AC ділить висоту BK трапеції.

Дано: ABCD – рівнобічна трапеція;

АС – бісектриса; ВС = 6 см; AD = 12 см; AB + CD > MN на 1 см;

MN – середня лінія

Знайти: ВООК.

Розв’язання

MN = 6+122 = 182 = 9 (cм);

AB + CD = 9 + 1 = 10 (см);

AB = CD = 10 : 2 = 5 (см);

AK = (AD – BC) : 2 = (12 – 6) : 2 = 3 (см);

∆ВАК: АО – бісектриса;

ВООК = АВАК.

АВАК = 53, тоді ВООК = 5 : 3.

Відповідь: 5 : 3.

815. Доведіть, що бісектриси кутів А і C прямокутника ABCD ділять діагональ BD на три рівні частини.

Дано: ABCD – прямокутник;

АК, СМ – бісектриси.

Довести: BP = PL – LD.

Доведення

∆BCD: CL – бісектриса; BLLD = BCLD = 21.

∆BAD: AP – бісектриса; BPPD = ABAD = 21.

Отже, BP = PL = LD.

820. Спираючись на властивість проекцій катетів на гіпотенузу,

можна будувати висоту до гіпотенузи прямокутного трикутника

без використання транспортира чи косинця. Поясніть, як це

можна зробити.

1. Знайти проекції катетів:

АН = АС2АВ; ВН = ВС2АВ.

2. На гіпотенузі відкласти ці відрізки і знайти основу висоти.

3. За допомогою циркуля і лінійки побудувати перпендикуляр до АВ.

4. СН – шукана висота.

821. Поясніть, як позначити дванадцять точок у вузлах сітки на папері в клітинку, щоб ці точки лежали на колі радіусом 5 клітинок.

1. Позначити центр кола – точка О.

2. Від точки О побудувати 4 точки по вертикалі і горизонталі на відстані 5 клітинок.

3. Від точки О побудувати 4 точки типу «3 і 4 клітинки».

4. Від точки О побудувати 4 точки типу «4 і 3 клітинки».

822. Із пункту В до перетину доріг AC і AD потрібно прокласти трасу. Поясніть за малюнком 361, як це можна зробити, якщо пункт А — недоступний.

Траса ВА проходить через вершини подібних трикутників.

Використовуючи властивості подібних трикутників, можна прокласти трасу ВА.

823. На малюнку 362 показано, як можна виміряти висоту дерева,

користуючись однією віхою. Поясніть вимірювання.

Три точки – око, верхівка віхи й верхівка дерева мають лежати на одній прямій. Це можна зробити, якщо поставити віху й відійти від неї на таку відстань, щоб, коли дивитись одночасно на верхівку віхи та верхівку дерева, вони суміщались.

840. Доведіть, що квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів: d² = а² + b² + с²

(мал. 381).

Дано: прямокутний паралелепіпед з вимірами a, b, c.

Довести: d² = а² + b² + с².

Доведення

∆АВС (∠В = 90°): АС² = a² + b².

∆A₁AC (∠A = 90°): A₁C² = AC² + A₁A²;

d² = a² + b² + c².

841. Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 13 см, а його

довжина і ширина — відповідно 4 см і 3 см. Знайдіть висоту

прямокутного паралелепіпеда.

Дано: прямокутний паралелепіпед.

d = 13 см; a = 4 см; b = 3 см.

Знайти: с.

Розв’язання

d² = a² + b² + c²;

4² + 3² + c² = 13²;

16 + 9 + c² = 169;

c² = 169 – 25;

c² = 144;

c = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

842. Основою піраміди SABCD, бічні ребра якої рівні, є квадрат зі стороною 16 см (мал. 382). Знайдіть бічне ребро піраміди, якщо висота SM її грані дорівнює 15 см.

Дано: SABCD – піраміда;

ABCD – квадрат; ВС = 16 см.

SM = 15 см.

Знайти: SB.

Розв’язання

∆BSC – рівнобедрений, тоді висота SM є медіаною.

ВМ = 12ВС = 12 • 16 = 8 (см);

∆SMB (∠M = 90°) : SB² = SM² + BM²;

SB = SM2+ BM2 = 152+ 82 = 225+64 = 289 = 17 (см).

Відповідь: 17 см.

843. Кожне ребро трикутної піраміди дорівнює m. Знайдіть висоту грані піраміди.

Дано: SABC – піраміда; SM – висота грані;

всі ребра дорівнюють m.

Знайти: SM.

Розв’язання

∆SMC (∠M = 90°): SC² = SM² + CM²;

SM = SC2- CM2 = m2- (m2)2 = m2- m24 = 4m2- m24 = 3m24 = m32

Відповідь: m32.

845. Із точки O до прямої проведено перпендикуляр ОВ і похилу ОС.

Знайдіть: 1) похилу ОС, якщо її проекція BC дорівнює 4 см, а перпендикуляр OB — 3 см; 2) проекцію BC похилої, якщо перпендикуляр OB дорівнює 12 см, а похила OC — 13 см;

3) перпендикуляр ОВ, якщо похила OC дорівнює 25 см, а її проекція

BC — 7 см.

OB – перпендикуляр; ОС – похила.

Знайти:

1) ОС, якщо ВС = 4 см, ОВ = 3 см.

∆ОВС (∠В = 90) – єгипетський; ОС = 5 см.

2) ВС, якщо ОВ = 12 см, ОС = 13 см.

∆ОВС (∠В = 90°): ОС² = ОВ² + ВС².

ВС = ОС2- ОВ2 = 132- 122 = 169-144 = 25 = 5 (см).

3) ОВ, якщо ОС = 25 см, ВС = 7 см.

∆ОВС (∠В = 90°) : ОС² = ОВ² + ВС².

ОВ = ОС2- ВС2 = 252- 72 = 25-7(25+7) = 18 •32 = 9 •64 = 3 • 8 = 24 (см).

Відповідь: 1) 5 см; 2) 5 см; 3) 24 см.

875. Два кола дотикаються зовнішньо. Доведіть, що відрізок їхньої

зовнішньої спільної дотичної, що лежить між точками дотику, — середнє пропорційне між діаметрами кіл.

Дано: кола дотикаються зовні;

АВ – дотична.

Довести: АМ² = AC • AD.

Доведення

За властивістю дотичної: BA ⊥ CD.

З ∆CMD (∠M = 90°) за метричними співвідношеннями: АМ² = AC • AD.

876. Відстань між центрами кіл радіусами 6 см і 2 см дорівнює 10 см. Знайдіть довжину відрізка AB спільної внутрішньої дотичної (мал. 390).

Дано: кола К₁(О; 10 см);

К₂(О₁; 2 см); ОО₁ = 10 см.

Знайти: АВ.

Розв’язання

∆ОСА ~ ∆О₁СВ (за двома кутами);

К = ОАО1В = 62 = 3.

Нехай ОС = х см, тоді СО₁ = (10 – х) см.

ОССО1 = х10-х;

х10-х = 3;

х = 30 – 3х;

х + 3х = 30;

4х = 30;

х = 7,5. ОС = 7,5 см.

СО₁ = 10 – 7,5 = 2,5 (см);

∆ОАВ (∠А = 90°) : ОС² = ОА² + АС²;

АС = ОС2- ОА2 = 7,52- 62 = 56,25-36 = 20,25 = 4,5 (см);

АССВ = 3; СВ = АС : 3 = 4,5 : 3 = 1,5 (см);

АВ = АС + СВ = 4,5 + 1,5 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

878. На малюнку 392 показано, як застосували теорему Піфагора, щоб виміряти відстань між пунктами А і В, розділеними перешкодою. Поясніть вимірювання.

1. Провести пряму АС.

2. З точки В опустити перпендикуляр.

3. ∆АСВ (∠С = 90°): АВ = АС2+ ВС2.

879. Між двома фабричними будівлями потрібно побудувати похилий жолоб для транспортування матеріалів. Кінці жолоба мають бути розташовані на висоті 7 м і 3 м над землею. Якою має бути

довжина жолоба, якщо відстань між будівлями дорівнює 15 м?

Дано: АМ = 7 м, BN = 3 см,

СВ = 15 м.

Знайти: АВ.

Розв’язання

АС = АМ – СМ = 7 – 3 = 4 (м);

∆АВС (∠С = 90°) : АВ² = АС² + СВ²;

АВ = АС2+ СВ2 = 42+ 152 = 241 ≈ 15,5 (м).

Відповідь: 15,5 м.

880. Діагональ прямокутної ділянки землі дорівнює 116 м, а одна зі сторін — 84 м. Який периметр цієї ділянки.

Дано: ABCD прямокутник;

AC = 116 м, AD = 84 м.

Знайти: Р_ABCD.

Розв’язання

∆ADC (∠D = 90°): АС² = AD² + CD²;

CD = AC2-AD2 = 1162-842 = 13456-7056 = 6400 = 80 (м);

Р_ABCD = 2(AD + CD) = 2 • (84 + 80) = 2 • 164 = 328 (м).

Відповідь: 328 м.

881. 1. Якої довжини має бути драбина (мал. 393), щоб її можна було приставити до вікна, розташованого на висоті 6 м, якщо відстань від нижнього кінця драбини до будинку має дорівнювати 2,5 м? 2. На яку відстань від стіни будинку потрібно відсунути нижній кінець драбини завдовжки 9 м, щоб верхній її кінець був на висоті 6 м?

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); ВС = 6 м.

Знайти:

1) AB, якщо AC = 2,5 м;

∆АВС (∠С = 90°): АВ² = ВС² + АС²;

АВ = ВC2+AС2 = 62+2,52 = 36+6,25 = 42,25 = 6,5 (м).

2) АС, якщо AB = 9 м.

∆АВС (∠С = 90°): АВ² = ВС² + АС²;

АС = АВ2-ВС2 = 92-62 = 81-36 = 45 ≈ 6,7 (м).

Відповідь: 1) 6,5 м; 2) 6,7 м.

882. (Задача давньокит айського вченого Цзінь Кіу–Чау, 1250 р. до н. е.) У центрі копанки, що має форму квадрата зі стороною 10 футів, росте очеретина, висота якої над поверхнею води —

1 фут (1 фут ≈ 30 см). Якщо нахилити її до берега (до середини сторони копанки), то вона дістає своєю верхівкою берега (мал. 394). Яка глибина копанки?

Дано: АВ = 10 футів; ОМ = ОК; LK = 1 фут.

Знайти: OL.

Розв’язання

ML = AO = 12AB = 12 • 10 = 5 футів.

Нехай глибина копанки OL = х футів, тоді довжина очеретини OK = OL + LK = (x + 1) футів. OM = (x + 1) футів.

∆MKO (∠K = 90°) : MO² = LO² + MK²;

(x + 1)² = x² + 5²;

x² + 2x + 1 = x² + 25;

2x = 24;

x = 12.

12 футів – глибина копанки.

Відповідь: 12 футів.

883. 1. За даними на малюнку 402 назвіть: катет, прилеглий до кута α; катет, протилежний куту α. 2. Прочитайте записи ac, bc і ab, вживаючи слова «відношення», «протилежний катет», «прилеглий катет», «гіпотенуза».

1) b; a.

2) ac – відношення протилежного катета до гіпотенузи.

bc – відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

ab – відношення протилежного катета до прилеглого.

884. Назвіть правильну відповідь (мал. 403).

1) б; 2) в; 3) б.

885. За малюнком 404 назвіть правильну відповідь.

1) а; 2) б; 3) в.

886. Чи правильно, що при збільшенні гострого кута (мал. 405).

1) ні; 2) так; 3) так; 4) ні; 5) ні; 6) так.

887. Чи є правильною рівність.

1) ні; 2) так; 3) ні; 4) так; 5) так; 6) ні; 7) ні; 8) так; 9) ні.

888. Накресліть у зошиті таблицю 34. Поставте «+» у тій клітинці,

де відношення сторін трикутника відповідає його позначенню.

	sin α	cos α	sin β	cos β	tg α	tg β
ab					+
ba						+
bc		+	+
ac	+			+

889. На малюнку 406 ∠ABC = ∠ADB = 90°. Виразіть sin α, cos α і tg α через сторони трикутників ABC і BDA.

∆ABC (∠B = 90°):

sin α = BCAC; cos α = ABAC; tg α = BCAB.

∆BDA (∠D = 90°):

sin α = BDAB; cos α = ADAB; tg α = BDAD.

890. Чи можуть синус гострого кута, косинус гострого кута прямокутного трикутника дорівнювати: 1) 1; 2) 0,9; 3) 2?

Відповідь поясніть.

1) sin α = 1. Ні.

Оскільки катет не дорівнює гіпотенузі.

cos α = 1. Ні.

Оскільки катет не дорівнює гіпотенузі.

2) sin α = 0,9. Так.

cos α = 0,9. Так.

3) sin α = 2. Ні.

Оскільки катет менше гіпотенузи.

cos α = 2. Ні.

Оскільки катет менше гіпотенузи.

891. Чи може тангенс гострого кута прямокутного трикутника дорівнювати: 1) 1; 2) 4; 3) 0,8?

1) tg α = 1. Так.

Оскільки катети можуть бути рівними.

2) tg α = 4. Так.

Оскільки протилежний катет може бути більший за прилеглий.

3) tg α = 0,8. Так.

Оскільки прилеглий катет може бути менший за протилежний.

892. Знайдіть значення виразу:

1) 2sin 30° = 2 • 12 = 1;

2) 4 cos 60° = 4 • 12 = 2;

3) 3 tg 30° = 3 • 33 = 33 = 1;

4) 6 sin 45° = 6 • 22 = 32;

5) 2 cos 30° = 2 • 32 = 3;

6) 8 tg 45° = 8 • 1 = 8.

893. Знайдіть значення виразу.

1) 4 sin 60° = 4 • 32 = 23;

2) 2 cos 45° = 2 • 22 = 2;

3) 3 tg 60° = 3 • 3 = 9 = 3.

894. Знайдіть значення виразу:

1) tg 30° • tg 60° = 33 • 3 = 33 = 1;

2) 2 cos 45° • tg 45° = 2 • 22 • 1 = 22 = 1;

3) 2sin 30° + 3 cos 30° = 2 • 12 + 3 • 32 = 1 + 32 = 1 + 1,5 = 2,5;

4) 6 cos 60° – 3 tg 30° = 6 • 12 – 3 • 33 = 3 – 33 = 3 – 1 = 2.

895. Знайдіть значення виразу.

1) 8 sin 30° • cos 60° = 8 • 12 • 12 = 8 • 14 = 2;

2) 2 cos 45° – 2 sin 30° = 2 • 22 – 2 • 12 = 22 – 1 = 1 – 1 = 0.

896. Яка градусна міра кута α, якщо:

1) sin α = 12; α = 30°.

2) cos α = 22; α = 45°.

3) tg α = 3; α = 60°.

4) sin α = 32; α = 60°.

5) cos α = 12; α = 60°.

6) tg α = 1; α = 45°.

897. Яка градусна міра кута α, якщо:

1) sin α = 22; α = 45°.

2) cos α = 32; α = 30°.

3) tg α = 32; α = 30°.

898. Запишіть у порядку збільшення:

1) sin 10°, sin 11°, sin 15°, sin 46°, sin 75°.

2) tg 17°, tg 37°, tg 48°, tg 66°, tg 87°.

899. Запишіть у порядку збільшення:

1) cos 72°, cos 50°, cos 34°, cos 25°, cos 20°.

900. За даними, наведеними на малюнках 407 – 409, знайдіть х.

мал. 407, sin 30° = x4;

x = 4 • sin 30° = 4 • 12 = 2 (см).

мал. 408, cos 60° = x8;

x = 8 • cos 60° = 8 • 12 = 4 (см).

мал. 409, sin 60° = 53x;

x = 53sin60° = 53•23 = 10 (см).

мал. 410, cos 30° = 63x;

x = 63cos30° = 63•23 = 12 (см).

мал. 411, sin 45° = x102;

x = 102 • sin 45° = 102 • 22 = 10 (см).

мал. 412, tg 45° = 7х; x = 7tg45° = 71 = 7 (см).

902. У трикутнику ABC (∠C = 90°) кут А дорівнює 30°. Знайдіть:

1) BC, якщо AB = 4 см; 2) AC, якщо BC = 23 см; 3) АВ, якщо AC = 43 см.

Дано: ∆ABC (∠С = 90°); ∠А = 30°.

Знайти: 1) ВС, якщо AB = 4 см.

sin30° = BCAB; BC = AB • sin30° = 4 • 12 = 2 (см);

2) АС, якщо BC = 23 см;

tg30° = BCAC; AC = ВСtg30° = 23•33 = 6 (см);

3) AB, якщо AC = 33 см;

cos30° = ACAB; AB = AСcos30° = 43•23 = 8 (см).

903. У трикутнику MNK (∠K = 90°) кут M дорівнює 60°. Знайдіть:

1) MN, якщо MK = 3 см; 3) MK, якщо NK = 73 см.

2) NK, якщо MK = 23 см.

Дано: ∆MNK (∠K = 90°); ∠M = 60°.

Знайти: 1) MN, якщо MK = 3 см;

cos60° = MKMN;

MN = MKcos60° = 3•21 = 6 (см).

2) NK, якщо МК = 2 (см);

tg60° = NKMK; NK = MK • tg60° = 23 • 3 = 2 • 3 = 6 (см);

3) МК, якщо NK = 73 см;

tg60° = NKMK; MK = NKtg60° = 733 = 7 (см)

904. Кут А трикутника ABC (∠C = 90°) дорівнює 45°. Знайдіть:

1) AB, якщо AC = 2 см; 3) AC, якщо BC = 9 см.

2) BC, якщо AB = 52 см.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); ∠А = 45°.

Знайти:

1) АВ, якщо АС = 2 см;

cos45° = АСАВ; AB = АСcos45° = 2•22 = 2 (см).

2) ВС, якщо АВ = 52 см;

sin45° = ВСАВ; BC = AB • sin45° = 52 • 22 = 5 • 1 = 5 (см)

3) АС, якщо ВС = 9 см;

tg45° = ВСАС; AC = ВСtg45° = 91 = 9 (см).

905. Скориставшись формулами cos α = sin (90° – α), sin α = cos (90° – α), замініть: 1) косинуси даних кутів на синуси: cos 20°, cos 35°, cos 50°; 2) синуси даних кутів на косинуси: sin 10°, sin 65°, sin 85°.

1) cos20° = sin(90° – 20°) = sin70°;

cos35° = sin(90° – 35°) = sin55°;

cos50° = sin(90° – 50°) = sin40°;

2) sin10° = cos(90° – 10°) = cos80°;

sin65° = cos(90° – 65°) = cos25°;

sin85° = cos(90° – 85°) = cos5°.

906. Скориставшись формулами cos а = sin (90° – α), sin α = cos (90° – α), замініть: 1) косинуси даних кутів на синуси: cos 40°, cos 74°; 2) синуси даних кутів на косинуси: sin 55°, sin 25°.

1) cos40° = sin(90° – 40°) = sin50°;

cos74° = sin(90° – 74°) = sin16°.

2) sin55° = cos(90° – 10°) = cos80°;

sin25° = cos(90° – 25°) = cos35°.

907. Спростіть вираз:

1) 2cos(90° – α) – sinα = 2sinα – sinα = sinα.

2) sinα + cos(90° – α) = sinα + sinα = 2sinα.

3) 3cosα – 2sin(90° – α) = 3cosα – 2cos α = cosα.

4) 3sin(90° – α) – 4cosα = 3cosα – 4cos α = –cosα.

908. Спростіть вираз:

1) sin(90° – α) – cosα = cosα – cosα = 0.

2) cos α – 2sin(90° – α) = cosα – 2cosα = –cosα.

909. Побудуйте кут:

1) a) sin α = 35;

bc = 35 = 1,55;

б) sin α = 0,3;

bc = 310 = 1,55;

2) a) cos β = 56;

ac = 56 = 2,53;

б) cos β = 0,6;

ac = 610 = 1,52,5;

3) a) tg γ = 2;

ba = 2 = 42;

б) tg γ = 47;

ba = 47 = 23,5.

910. Побудуйте кут:

1) sin α = 0,5;

bc = 12 = 24;

2) cos β = 512;

ac = 512 = 2,56;

3) tg γ = 1;

ba = 1 = 44.

911. За даними, наведеними на малюнках 413–415, знайдіть х.

мал.413; cos α = xc; x = c • cos α;

мал.414; sin α = xc; x = c • sin α;

мал.415; tg α = xb; x = b • cos α.

912. За даними, наведеними на малюнках 416 – 418, знайдіть х.

мал.416; tg α = ax; x = atgα.

мал.417; sin α = ax; x = asinα.

мал.418; cos α = bx; x = bcosα.

913. Знайдіть катет а прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза c

і синус протилежного йому кута А дорівнюють.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°).

Знайти: a.

Розв’язання

1) с = 12 см; sin A = 14;

sin A = ас; a = c • sin A = 12 • 14 = 3 (см);

2) с = 20 см; sin A = 25;

sin A = ас; a = c • sin A = 20 • 24 = 8 (см);

3) с = 18 см; sin A = 23;

sin A = ас; a = c • sin A = 18 • 23 = 12 (см);

4) с = 8 см; sin A = 34;

sin A = ас; a = c • sin A = 8 • 34 = 6 (см).

Відповідь: 1) 6 см; 2) 8 см; 3) 12 см; 4) 6 см.

914. Знайдіть катет b прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза с

і косинус прилеглого до нього кута А дорівнюють:

Дано: ∆АВС (∠С = 90°).

Знайти: b.

Розв’язання

1) с = 6 см; cos A = 13;

cos A = bс; b = c • cos A = 6 • 13 = 2 (см);

2) с = 14 см; cos A = 27;

cos A = bс; b = c • cos A = 14 • 27 = 4 (см).

Відповідь: 1) 2 см; 2) 4 см.

915. Знайдіть гіпотенузу AB прямокутного трикутника АBС (∠C = 90°), якщо:

Дано: ∆АВС (∠С = 90°).

Знайти: AB.

Розв’язання

1) BC = 16 см; cos B = 18;

cos B = ВСАВ; AB = ВСcosB = 16•81 = 128 (см);

2) BC = 12 см; cos B = 34;

cos B = ВСАВ; AB = ВСcosB = 12•43 = 16 (см);

3) BC = 5 см; cos B = 0,5;

cos B = ВСАВ; AB = ВСcosB = 5•21 = 10 (см);

4) BC = 7 см; cos B = 0,7;

cos B = ВСАВ; AB = ВСcosB = 7•107 = 10 (см).

Відповідь: 1) 128 см; 2) 16 см; 3) 10 см; 4) 10 см.

916. Знайдіть гіпотенузу AB прямокутного трикутника АBС (∠C =

= 90°), якщо:

Дано: ∆АВС (∠С = 90°).

Знайти: AB.

Розв’язання

1) BC = 24 см; sin A = 38.

sin A = ВСАВ; AB = ВСsinA = 24•83 = 64 (см).

2) BC = 10 см; sin A = 15.

sin A = ВСАВ; AB = ВСsinA = 10•51 = 50 (см).

Відповідь: 1) 64 см; 2) 50 см.

917. Знайдіть катет BC прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°),

якщо:

Дано: ∆АВС (∠С = 90°).

Знайти: BC.

Розв’язання

1) AC = 8 см; tg A = 0,6.

tg A = ВСАC; BC = AC • tg A = 8 • 0,6 = 4,8 (см).

2) AC = 12 см; tg A = 4.

tg A = ВСАC; BC = AC • tg A = 12 • 4 = 48 (см).

3) AC = 11 см; tg A = 1,5.

tg A = ВСАC; BC = AC • tg A = 11 • 1,5 = 16,5 (см).

Відповідь: 1) 4,8 см; 2) 48 см; 3) 16,5 см.

918. Знайдіть невідомі сторони прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°), якщо:

Дано: ∆АВС (∠С = 90°).

Знайти:

1) BC, AC, якщо AB = c, ∠B = β.

cos B = BCAB; BC = AB • cos B = c • cos β;

sin B = ACAB; AC = AB • sin B = c • sin β.

2) AB, AC, якщо BC = a, ∠A = α.

sin A = BCAB; AB = BCsinA = asinα.

tg A = BCAC; AC = BCtgA = atgα.

3) AB, BC, якщо AC = b, ∠B = β.

sin B = ACAB; AB = ACsinB = bsinβ.

tg B = ACBC; BC = ACtgB = btgβ.

919. Скориставшись калькулятором, знайдіть.

1) sin 43° = 0,682; sin 22° = 0,375; sin 35° = 0,574; sin 58° 20’ = 0,851; sin 64° 13’ = 0,900;

cos 43° = 0,731; cos 22° = 0,927; cos 35° = 0,819; cos 58° 20’ = 0,526; cos 64° 13’ = 0,435;

tg 43° = 0,933;

tg 22° = 0,404;

tg 35° = 0,700;

tg 58° 20’ = 1,640;

tg 64° 13’ = 2,071;

2) sin α = 0,642, α = 39° 57’;

sin α = 0,771, α = 50° 27’;

sin α = 0,910, α = 65°;

sin α = 0,640, α = 39°;

sin α = 0,712, α = 45°;

cos α = 0,342, α = 69°;

cos α = 0,962, α = 15°10’;

cos α = 0,087, α = 84°;

cos α = 0,914, α = 23°51’;

cos α = 0,809, α = 35°;

tg α = 0,178, α = 10°6’;

tg α = 0,269, α = 15°6’;

tg α = 0,035, α = 2°;

tg α = 0,447, α = 24°6’;

tg α = 0,532, α = 28°1’.

920. Cкориставшись калькулятором, знайдіть.

1) sin 39° = 0,629;

sin 54°12’ = 0,811;

cos 39° = 0,777;

cos 54°12’ = 0,585;

tg 39° = 0,809;

tg 54°12’ = 1,387;

2) sin α = 0,750, α = 48°35’;

sin α = 0,515, α = 31°;

cos α = 0,602, α = 52°39’;

cos α = 0,915, α = 23°48’;

tg α = 0,934, α = 43°3’;

tg α = 0,781, α = 37°59’.

921. За таблицями (додатки 1, 2) знайдіть:

1) sin 20° = 0,342;sin 75° = 0,966;sin 33° = 0,545;sin 85° = 0,996;

2) cos 6° = 0,995;cos 67° = 0,391;cos 51° = 0,629;cos 24° = 0,914.

3) tg 65° = 2,14;

tg 1° = 0,017;

tg 73° = 3,27;

tg 19° = 0,344;

922. За таблицями (додатки 1, 2) знайдіть:

1) sin α = 0,999, α = 88°;

sin α = 0,017, α = 1°;

sin α = 0,574, α = 35°;

2) cos α = 0,766, α = 40°;

cos α = 0,966, α = 15°;

cos α = 0,225, α = 77°;

3) tg α = 0,900, α = 42°;

tg α = 0,344, α = 19°;

tg α = 0,781, α = 38°.

924. За таблицями (додатки 1, 2) знайдіть кут α, якщо:

1) sin α = 0,588, α = 36°;

2) cos α = 0,731, α = 43°;

3) tg α = 0,839, α = 40°.

925. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) AC = 18 мм,

BC = 24 мм. Знайдіть: 1) sin A, cos A, tg А; 2) sin В, cos В, tg B.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°);

АС = 18 см, ВС = 24 мм.

Знайти:

1) sin A, cos A, tg A.

∆ABC – єгипетський з коефіцієнтом 6.

АВ = 5 • 6 = 30 (см);

sin A = BCAB = 2430 = 45 = 0,8; cos A = ACAB = 1830 = 45 = 0,6;

tg A = BCAC = 2418 = 43;

2) sin B, cos B, tg B.

sin B = ACAB = 1830 = 35 = 0,6; cos B = BCAB = 2430 = 45 = 0,8;

tg B = ACBC = 1824 = 34.

926. Із точки А до прямої проведено похилу AB = 15 см і перпендикуляр AC = 9 см. Знайдіть синус і косинус: 1) кута А; 2) кута B.

Дано: АВ = 15 см – похила;

АС = 9 см – перпендикуляр.

Знайти:

1) sin A, cos A.

∆ABC (∠С = 90°) – єгипетський з коефіцієнтом 3.

ВС = 4 • 3 = 12 (см);

sin A = BCAB = 1215 = 45 = 0,8;

cos A = ACAB = 915 = 35 = 0,6;

2) sin B, cos B;

sin B = ACAB = 915 = 35 = 0,6;

cos B = BCAB = 1215 = 45 = 0,8.

927. У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 24 см і 7 см.

Знайдіть: 1) косинус гострого кута, який лежить проти меншого катета; 2) синус гострого кута, який лежить проти більшого катета;

3) тангенс гострого кута, який лежить проти більшого катета.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°);

АС = 24 см, ВС = 7 мм.

Знайти:

АВ² = АС² + ВС²;

АВ = АС2+ВС2 = 242+72 = 576+49 = 625 = 25 (см).

cosA = ACAB = 2425 = 0,96;

2) sinB; sinB = ACAB = 2425 = 0,96;

3) tgB; tgB = ACBC = 247.

Відповідь: 1) 0,96; 2) 0,96; 3) 247.

928. Знайдіть значення виразу.

1) 2cos 60° • tg 45° • tg 60° = 2 • 12 • 1 • 3 = 3.

2) 3tg²60° – 4cos² 30° = 3 • (3)² – 4 • (32)² = 3 • 3 – 4 • 34 = 9 – 3 = 6.

929. Знайдіть значення виразу.

cos 30° • tg 30° + sin 60° • tg 60° = 32 • 33 + 32 • 3 = 36 + 32 = 12 + 32 = 42 = 2.

930. У прямокутному трикутнику катет дорівнює 8 см, а протилежний йому кут — 60°. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°);

АС = 8 см, ∠В = 60°; CD ⊥ AB.

Знайти: CD.

Розв’язання

∆АВС (∠С = 90°):

tg B = ACBC; BC = ACtgB = 8tg60° = 83 (см);

∆CDB (∠D = 90°);

sin B = CDBC; CD = BC • sin B = 83 • sin 60° = 83 • 32 = 4 (см).

Відповідь: 4 см.

931. Катет прямокутного трикутника дорівнює 93 см, а прилеглий

до нього кут — 60°. Знайдіть бісектрису цього кута.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°);

ВС = 93 см; ∠В = 60°; ВК – бісектриса

Знайти: ВК.

Розв’язання

∠КВС = 12∠В = 12 • 60° = 30°;

∆КВС (∠С = 90°): cos ∠KBC = ВСВК;

BK = ВСсоs∠KBC = 93cos30° = 93•23 = 18 (см).

Відповідь: 18 см.

932. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а кут при основі — 30° (мал. 419). Знайдіть: 1) основу трикутника;

2) висоту, проведену до основи; 3) висоту, проведену до бічної сторони.

Дано: ∆АВС; ∠А = 30°; АВ = ВС = 10 см.

Знайти:

1) АС.

∆ADB (∠D = 90°): cosA = ADAB;

AD = AB • cosA = 10cos30° = 10 • 32 = 53 (см);

AC = 2 • AD = 2 • 53 = 103 (см).

2) BD.

∆ADB (∠D = 90°) : sinA = BDAB;

BD = AB • sinA = 10 • sin30° = 10 • 12 = 5 (см);

3) DM.

∆ADM (∠M = 90°) : sinA = DMAD.

DM = AD • sinA = 53 • sin30° = 53 • 12 = 2,53 (см).

Відповідь: 1) 103 см; 2) 5 см; 3) 2,53 см.

933. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо медіана,

проведена до гіпотенузи, дорівнює 8 см, а кут трикутника: 1) 30°;

2) 45°.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); СМ = 8 см – медіана.

Знайти: АС, ВС.

Розв’язання

1) ∠А = 30°.

За властивістю прямокутного трикутника:

АВ = 2 • СМ = 2 • 8 = 16 (см).

cosA = ACAB;

AC = AB • cos A = 16 • cos 30° = 16 • 32 = 83 (см);

sin A = BCAB;

BC = AB • sin A = 16 • sin 30° = 16 • 12 = 8 (см);

2) ∠А = 45°, АВ = 2 • СМ = 2 • 8 = 16 (см).

cos A = ACAB.

AC = AB • cos A = 16 • 22 = 82 (см);

∠А = ∠В, тоді ВС = АС = 82 (см).

Відповідь: 1) 83 см і 8 см; 2) 82 см і 82 см.

934. За даними, наведеними на малюнках 420, 421, знайдіть довжини відрізків AD і CD.

мал.420.

Знайти: AD i CD.

Розв’язання

∆ВАС (∠А = 90°) : tg 60° = ACAB;

AC = AB • tg 60° = 4 • 3 = 43 (см);

∆ADC (∠D = 90°): AD = 12AC = 12 • 43 = 23 (см);

cos 30° = CDAC.

CD = AC • cos 30° = 43 • 32 = 6 (см).

Відповідь: 23 см і 6 см.

мал.421

Знайти AD i CD.

Розв’язання

AD = BK;

∆BKC (∠K = 90°): sin 60° = BKBC.

BK = BC • sin 60° = 8 • 32 = 43 (см);

AD = 43 см.

cos 60° = KCBC; KC = BC • cos 60° = 8 • 12 = 4 (см);

DK = AD = 43 cм;

CD = KC + DK = 4 + 43 = 4(1 + 3) см.

Відповідь: 43 см і 4(1 + 3) см.

935. За даними, наведеними на малюнку 422, знайдіть довжини відрізків AD і CD.

мал.422

Знайти AD i CD.

Розв’язання

∆DCB (∠C = 90°): DC = 12BD = 12 • 43 = 23 (см).

∆ADB (∠D = 90°): tg 30° = ADBD.

AD = BD • tg 30° = 43 • 33 = 4 (см).

Відповідь: 4 см і 23 см.

936. Сторона ромба дорівнює 4 см, а один із його кутів — 60°. Знайдіть діагоналі ромба.

Дано: ABCD – ромб;

АВ = 4 см, ∠А = 60°.

Знайти: AC, BD.

Розв’язання

За властивістю ромба:

∠OAB = 12 ∠A = 12 • 60° = 30°.

∆AOB (∠O = 90°): cos∠OAB = OAAB;

OA = AB • cos ∠OAB = 4 • cos30° = 4 • 32 = 23 (см).

АС = 2 • ОА = 2 • 23 = 43 (см).

sin ∠OAB = OBAB;

OB = AB • sin ∠OAB = 4 • sin 30° = 4 • 12 (см).

BD = 2 • OB = 2 • 2 = 4 (см).

Відповідь: 43 см; 4 см.

937. Більша діагональ ромба дорівнює 123 см, а один із його кутів — 120°. Знайдіть сторону й меншу діагональ ромба.

Дано: ABCD – ромб;

∠В = 120°; АС = 123 см.

Знайти: АВ; BD.

Розв’язання

За властивістю ромба:

∠ABO = 12∠B = 12 • 120° = 60°.

AO = 12AC = 12 • 123 = 63 (см);

∆AOB = (∠O = 90°): tg∠ABO = AOBO;

BO = AOtg∠ABO = 63tg60° = 633 = 6 (см);

BD = 2 • BO = 2 • 6 = 12 (см);

AB = AO2+ BO2 = (63)2+ 62 = 108+36 = 144 = 12 (см).

Відповідь: 12 см і 12 см.

938. Діагональ паралелограма дорівнює 12 см і перпендикулярна до

його сторони. Знайдіть сторони паралелограма, якщо один із його

кутів дорівнює: 1) 30°; 2) 45°.

Дано: ABCD – паралелограм,

DB ⊥ AB, BD = 12 см.

Знайти: AB; AD.

Розв’язання

1) ∠А = 30°.

∆ABD (∠B = 90°): tg A = BDAB;

AB = BDtgA = 12tg 30° = 12 •33 = 363 = 3633 = 123 (см);

cos A = ABAD.

AD = ABcosA = 123cos30° = 123 •23 = 24 (см);

2) ∠А = 45°.

∆ABD (∠B = 90°): ∠ADB = 90° – ∠A = 90° – 45° = 45°.

∠В = ∠ADB, тоді ∆ ABD – рівнобедрений АВ = BD = 12 (см);

cos A = ABAD; AB = АВcosA = 12cos45° = 12•22 = 242 = 2422 = 12 (см).

Відповідь: 1) 123 см і 24 см; 2) 12 см і 122 см.

939. Знайдіть радіус r кола, вписаного в рівносторонній трикутник,

і радіус R кола, описаного навколо цього трикутника, якщо сторо­

на трикутника дорівнює а.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС = АС = а.

Знайти: R; r.

Розв’язання

∠А = ∠В = ∠С = 60°.

∠ОВМ = 12∠В = 12 • 60° = 30°.

О – центр вписаного і описаного кола; ОВ = R, OM – r.

АМ ∈ медіаною, висотою та бісектрисою ∆АВС. ВМ = 12ВС = а2.

∆ОМВ (∠М = 90°): cos ∠OBM = BMOB.

OB = BMcos∠OBM = a2cos30° = a •223 = a3 = a33. R = a33.

tg ∠OBM = OMBM.

OM = BM • tg ∠OBM = a2 • tg 30° = a2 • 33 = a36.

Відповідь: R = a33, r = a36.

940. Знайдіть радіус кола, вписаного в ромб, якщо його сторона дорівнює 16 см, а гострий кут: 1) 30°; 2) 60°.

Дано: ABCD – ромб;

АВ = 16 см

Знайти: r.

Розв’язання

1) ∠А = 30°;

ВН – висота ромба, тоді r = OM = 12 BH.

∆AHB (∠H = 90°): sin A = BHAB;

BH = AB • sin A = 16 • sin 30° = 16 • 12 = 8 (cм);

OM = BH2 = 82 = 4 (см); r = 4 см.

2) ∠А = 60°; ∆АНВ (∠H = 90°): sin A = BHAB.

BH = AB • sin A = 16 • sin 60° = 16 • 32 = 83 (см);

ОМ = BH2 = 832 = 43 (см); r = 43 см.

Відповідь: 1) 4 см; 2) 43 см.

941. Знайдіть відношення діаметрів кіл, вписаного в квадрат й описаного навколо цього квадрата.

Дано: ABCD – квадрат, вписаний і описаний навколо кола.

Знайти: rR.

Розв’язання

r = OM = 12AB; R = 12BD.

∆BAD (∠A = 90°): ∠D = ∠B = 90° : 2 = 45°.

sin 45° = ABBD; 22 = ABBD;

rR = 12AB12BD = ABBD = 22 = 12.

Відповідь: 1; 2.

942. Із точки, що розташована на відстані 5 см від прямої, проведено дві похилі, які утворюють із прямою кути 45° і 30°. Знайдіть: 1) похилі; 2) проекції похилих на пряму.

Дано: АВ = 5 см – перпендикуляр;

∠С = 45°; ∠D = 30°.

Знайти:

1) AC, AD.

∆ABC (∠B = 90°): sin C = ABAC;

∆ADB (∠D = 90°): cosA = ADAB.

AB = ADcosA = 5 •22 = 52 (см);

АВ = ВС = 52 см.

Відповідь: 52 см і 52 см.

943. Із точки до прямої проведено дві похилі, які утворюють із прямою кути по 45°. Знайдіть довжину кожної похилої, якщо відстань між їхніми основами дорівнює 10 см.

Дано: BD – перпендикуляр;

∠А = ∠С = 45°, АС = 10 см.

Знайти: АВ, ВС.

Розв’язання

∆АВС – рівнобедрений; АВ = ВС.

Висота BD є медіаною.

AD = DC = 12AC = 12 • 10 = 5 (cм).

∆ADB (∠D = 90°): cos A = ADAB.

AB = ADcosA = 5 •22 = 52 (cм).

AB = BC = 52 cм.

Відповідь: 52 см і 52 см.

944. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) AC = 18 мм,

BC = 24 мм. Знайдіть: 1) sin A, cos A, tg А; 2) sin В, cos В, tg В.

(див. 925)

945. Побудуйте прямокутний трикутник ACB (∠C = 90°), у якому:

1) sinA = 0,4; 2) tgA = 13.

Побудова ∆АВС (∠С = 90°), у якому

1) sin A = 0,4.

Аналіз:

sin A = BCAB = 410 = 25;

BC = 2 см; АВ = 5 см.

Побудова

2) tg A = 13;

tg A = BCAC = 13 = 26;

ВС = 2 см; АС = 6 см.

Побудова

946. Побудуйте прямокутний трикутник MTO (∠T = 90°), у якому

cos M = 27.

Побудувати ∆МТО (∠Т = 90°), якщо cos M = 27.

Аналіз:

cos M = MTMO = 27;

MT = 2 см; МО = 7 см.

Побудова

947. У прямокутному трикутнику катет дорівнює b, а прилеглий до

нього кут — α. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); CD – висота;

BC = b; ∠B = α.

Знайти: CD.

Розв’язання

∆CDB (∠D = 90°): sin B = CDCB.

CD = CB • sin B = b • sin α.

Відповідь: b • sin α.

948. Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює α, а бісектриса

цього кута — l. Знайдіть катет, прилеглий до кута α.

Дано: ∆ABC (∠C = 90°), ∠B = α,

BK = l – бісектриса.

Знайти: СВ.

Розв’язання

∠KBC = 12∠B = 12 • α = α2.

∆KCB (∠C = 90°): cos ∠KCB = BCBK.

BC = BK • cos ∠KCB = l • cos α2.

Відповідь: l • cos α2.

949. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює b, а кут при

основі — α. Знайдіть:

1) основу трикутника; 2) висоту, проведену до основи.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС = b; ∠A = α;

Знайти: 1) AC; 2) BD.

1) AC.

Проведемо висоту BD.

∆ADB (∠D = 90°): cos A = ADAB.

AD = AB • cos A = b • cos α.

Висота BD є також медіаною.

AC = 2 • AD = 2b • cos α.

2) BD;

∆ADB (∠D = 90°): sin A = BDAB.

BD = AB • sin A = b • sin α.

Відповідь: 1) 2b • cos α; 2) b • sin α.

950. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, дорівнює h, а кут при основі — α. Знайдіть:

1) бічну сторону трикутника; 2) основу трикутника.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС;

BD = h – висота; ∠А = α.

Знайти: 1) АВ; 2) АС.

1) АВ.

∆ADB (∠D = 90°): sin A = BDAB;

AB = BDsinA = hsinα;

2) AC.

∆ADB (∠D = 90°): tg A = BDAD.

AD = BDtgA = htgα;

Висота АС є медіаною.

AC = 2 • AD = 2htgα.

Відповідь: 1) hsinα; 2) 2htgα.

951. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а, а кут між бічними сторонами — α. Знайдіть:

1) висоту, проведену до основи; 2) бічну сторону трикутника.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС; ∠А = α, АС = а.

Знайти: 1) BD; 2) AB.

1) висоту BD.

Висота BD у рівнобедреному трикутнику є бісектрисою і медіаною.

∠ABD = 12∠B = 12 • α = α2.

AD = 12AC = 12a = a2.

∆ADB (∠D = 90°): tg ∠ABD = ADBD.

BD = ADtg∠ABD = a2tgα2;

2) AB.

∆ADB (∠D = 90°): sin ∠ABD = ADAB.

AB = ADsin∠ABD = a2sinα2.

Відповідь: 1) a2tgα2; 2) a2sinα2.

952. За даними, наведеними на малюнках 423, 424, знайдіть відрізки AD і CD.

мал.423.

Знайти: AD і CD.

Розв’язання

∆BAC (∠A = 90°): tg B = ACAB;

AC = AB • tg β = a • tg α.

∆ACD (∠C = 90°): sin D = ACAD.

AD = ACsinD = atgαsinβ.

tg D = ACCD; CD = ACtg D = a tgαtgβ.

Відповідь: atgαsinβ і a tgαtgβ.

мал. 424

Знайти AD і CD.

Розв’язання

∆АВC (∠В = 90°): sin C = ABAC.

AC = ABsinC = asinα.

∆ADC (∠D = 90°): cos A = ADAC.

AD = AC • cos A = a •cosβsinα.

sin A = CDAC : CD = AC • sin A = asinβsinα.

Відповідь: a •cosβsinα і asinβsinα.

953. Знайдіть відрізки AD і CD за даними на малюнку 425.

мал. 425

Знайти: AD і CD.

Розв’язання

∆АСВ (∠С = 90°) : tg B = ACCB.

AC = CB • tg B = a tg α.

∆ADC (∠D = 90°): ∠DAC = α.

cos ∠DAC = ADAC.

AD = AC • cos ∠DAC = a tgα • cos α = a • sinαcosα • cos α = a sin α.

sin ∠DAC = CDAC;

CD = AC • sin ∠DAC = a tgα • sin α = a sin α tg α.

Відповідь: a sin α, a sin α tg α.

954. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює m, а гострий кут трикутника — α.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); ∠В = α; CM = m – медіана.

Знайти: ВС, АС.

Розв’язання

За властивістю прямокутного трикутника:

AB = 2CM = 2m.

∆ACB (∠C = 90°):

cos B = BCAB; BC = AB • cos B = 2m • cos α;

sin B = ACAB; AC = AB • sin B = 2m • sin α;

Відповідь: 2m cos α, 2m sin α.

955. Знайдіть радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, якщо його катет дорівнює b, а гострий кут — α.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°) – вписаний в коло, BC = b, ∠B = α.

Знайти: R.

Розв’язання

Центром описаного кола є середина гіпотенузи АВ. R = 12AB.

∆ABC (∠C = 90°): cos B = BCAB; AB = BCcosB = bcosα;

R = 12 • bcosα = b2cosα.

Відповідь: b2cosα.

956. У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює α, а радіус вписаного кола — r. Знайдіть:

1) основу трикутника; 2) бічну сторону трикутника.

Дано: ∆ABC – рівнобедрений,

описаний навколо кола; ∠A = α, OK = r.

Знайти: 1) AC; 2) AB.

1) АС.

Висота BK є медіаною.

Центром вписаного кола є точка перетину бісектрис.

∆АКО (∠К = 90°): ∠ОАК = α2.

tg ∠OAK = OKAK; AK = OKtg ∠OAK = rtgα2; AC = 2AK = 2rtgα2.

2) ∆AKB (∠K = 90°): cos A = AKAB; AB = AKcosA = rcosα tgα2.

Відповідь: 1) 2rtgα2; 2) rcosα tgα2.

957. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, дорівнює h, а кут при основі — α. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник.

Дано: ∆ABC – рівнобедрений, описаний навколо кола; BD = h; ∠A = α.

Знайти: r.

Розв’язання

Центром вписаного кола є точка перетину бісектрис.

∆АDB (∠D = 90°): tgA = BDAD; AD = BDtgA = htgα.

∆ADO (∠D = 90°): ∠OAD = 12∠A = α2.

tg ∠OAD = ODAD.

OD = AD • tg ∠OAD = h• tgα2tgα. r = h tgα2tgα.

Відповідь: h tgα2tgα.

958. Сторона AD прямокутника ABCD дорівнює а й утворює з діагоналлю AC кут α. Знайдіть радіус кола, описаного навколо прямокутника.

Дано: ABCD – прямокутник, вписаний в коло AD = a, ∠CAD = α.

Знайти: R.

Розв’язання

Центром описаного кола всередині діагоналі AC.

∆ADC (∠D = 90°): cos A = ADAC; AC = ADcosA = acosα.

OA = 12AC = a2cosα; R = a2cosα.

Відповідь: a2cosα.

959. Гострий кут між діагоналями прямокутника дорівнює α, а сторона, що лежить проти цього кута, — а. Знайдіть:

1) іншу сторону прямокутника; 2) діагональ прямокутника

Дано: ABCD – прямокутник; ∠АОВ = α, AB = a.

Знайти: 1) AD; 2) AC.

Розв’язання.

1) ∆АОВ – рівнобедрений.

Висота ОК є медіаною і бісектрисою.

∆ВКО (∠К = 90°):

∠ВОК = 12∠АОВ = α2; ВК = 12АВ = a2.

tg∠BOK = BKKO, KO = BKtg∠BOK = a2tgα2.

AD = 2 • KO = 2 • a2tgα2 = atgα2.

2) sin ∠BOK = BKOB; OB = BKsin∠BOK = a2sinα2.

BD = 2 • OB = 2 • a2sinα2 = asinα2.

Відповідь: 1) atgα2; 2) asinα2.

960. Більша діагональ ромба дорівнює d, а його гострий кут — α.

Знайдіть: 1) сторону ромба; 2) меншу діагональ ромба.

Дано: ABCD – ромб; AC = d; ∠А = α.

Знайти: 1) AB; 2) BD.

Розв’язання

1) АВ.

За властивістю ромба:

AC ⊥ BD; ∠OAD = 12∠A = α2.

∆AOD (∠O = 90°): AO = 12AC = d2.

cos ∠OAD = OAAD; AD = OAcos∠OAD = d2cosα2.

2) BD; tg ∠OAD = ODOA;

OD = OA • tg ∠OAD = d2 • tgα2.

BD = 2 • OD = 2 • d2 • tgα2 = d • tgα2.

Відповідь: 1) d2cosα2; 2) d • tgα2.

961. Визначте знак різниці.

1) tg 64° – tg 58° > 0;

2) sin 21° – sin 36° < 0.

962. Визначте знак різниці.

cos 51° – cos 41° < 0.

963. Дві висоти паралелограма, проведені з вершини тупого кута, дорівнюють 12 см і 18 см, а кут між ними — 30°. Знайдіть сторони

паралелограма.

Дано: ABCD – паралелограм;

BK = 12 см; BM = 18 см; ∠KBM = 30°.

Знайти: AB, BC.

Розв’язання

Кут між висотами дорівнює гострому куту паралелограма.

∠А = ∠С = 30°.

∆АКВ (∠К = 90°): sin A = BKAB; AB = BKsinA = 12sin30° = 1212 = 24 (см);

∆ВМС (∠М = 90°): sin C = BMBC; BC = BMsinC = 18sin30° = 1812 = 36 (см).

Відповідь: 24 см; 36 см.

964. Дві висоти паралелограма, проведені з вершини гострого кута, дорівнюють 5 см і 12 см, а кут між ними — 150°. Знайдіть сторони

паралелограма.

Дано: ABCD – паралелограм;

AK = 5 см; АМ = 12 см; ∠КАМ = 150°.

Знайти: AB, BC.

Розв’язання

Кут між висотами дорівнює тупому куту паралелограма.

∠B = 150°, тоді ∠А = 180° – ∠В = 180° – 150° = 30°.

∠КВА = ∠А = 30° – як внутрішні різносторонні при KB ∥ AD і січній АВ.

∆АКВ (∠K = 90°): sin ∠KBA = AKAB;

AB = AKsin∠KBA = 5sin30° = 512 = 10 (см).

∠ADM = ∠A = 30° – як внутрішні різносторонні при AB ∥ MD і січній AD.

∆AMD (∠M = 90°): sin ∠ADM = AMAD.

AD = AMsin∠ADM = 12sin30° = 1212 = 24 (см).

Відповідь: 10 см; 24 см.

965. Знайдіть сторони трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює r, а кути трикутника дорівнюють α, β, γ.

Дано: ∆ABC – описаний навколо кола; ∠A = α, ∠B = β; ∠C = γ, OK = OM = OP = r.

Знайти: AB, BC, AC.

Розв’язання

Центр вписаного кола є точкою перетину бісектрис трикутника.

∆AKO (∠K = 90°): ∠OAK = 12 ∠A = α2.

tg ∠OAK = OKAK; AK = OKtg∠OAK = rtgα2; AP = AK = rtgα2.

∆BKO (∠K = 90°): KB = rtgβ2, BM = KB = rtgβ2.

∆CMO (∠M = 90°): MC = rtgγ2; PC = MC = rtgγ2.

AB = AK + KB = rtgα2 + rtgβ2 = r(1tgα2 + 1tgβ2).

BC = BM + MC = rtgβ2 + rtgγ2 = r(1tgβ2 + 1tgγ2).

AC = AP + PC = rtgα2 + rtgβ2 = r(1tgβ2 + 1tgγ2).

Відповідь: r(1tgα2 + 1tgβ2), r(1tgβ2 + 1tgγ2), r(1tgβ2 + 1tgγ2).

966. У рівнобічній трапеції менша основа дорівнює b, а бічна сторона, завдовжки с, утворює з висотою кут α. Знайдіть більшу основу трапеції.

Дано: ABCD – рівнобедрена трапеція;

BH – висота, BC = b; AB = c, ∠АВН = α.

Знайти: AD.

Розв’язання

∆АНВ (∠Н = 90°): sin B = AHAB.

AH = AB • sin B = c • sin α.

KD = AH = c • sin α.

HK = BC = b.

AD = AH + HK + KD = c • sin α + b + c • sin α = b + 2 c • sin α.

Відповідь: b + 2 c • sin α.

967. У рівнобічній трапеції більша основа дорівнює а, а бічна сторона, завдовжки с, утворює з висотою кут α. Знайдіть меншу основу трапеції.

Дано: ABCD – рівнобічна

Трапеція; AD = a; AB = c;

∠ABH = α.

Знайти: ВС.

Розв’язання

∆AHB (∠H = 90°): sin B = АНАВ.

AH = AB • sin B = c • sin α.

KD = AH = c • sin α.

HK = AD – (AH + KD) = a – (c • sin α + c • sin α) = a – 2c • sin α.

BC = HK = a – 2c • sin α.

Відповідь: a – 2c • sin α.

968. У рівнобічній трапеції висота h утворює з бічною стороною кут α, а менша основа дорівнює b. Знайдіть:

1) бічну сторону трапеції; 2) більшу основу трапеції.

Дано: ABCD – рівнобічна трапеція;

BH = h – висота; BC = b; ∠АВН = α.

Знайти: 1) АВ; 2) AD.

Розв’язання

1) ∆АНВ (∠Н = 90°): cos B = BHAB.

AB = BHcosB = hcosα.

2) ∆AHB (∠H = 90°): tgB = AHBH.

AH = BH • tg β = h • tg α.

KD = AH = h • tg α; HK = BC = b.

АD = AH + HK + KD = h tg α + b + h tg α = b + 2h tg α.

Відповідь: 1) hcosα; 2) b + 2h tg α.

969. У будівництві часто замість градусної міри кута використовують його тангенс. Наприклад, під час будівництва будинку майстрові замість градусної міри кута α нахилу даху (мал. 426) дають відношення довжин сторін BC і AC, тобто tg α. Нехай потрібно побудувати дах, довжина затяжки AD якого дорівнює 20 м, а тангенс кута нахилу даху — 0,8. Скільки метрів буде висота BC кроквяної системи даху?

Дано: AD = 20 м; tg А = 0,8.

Знайти: BC.

Розв’язання

∆ABD – рівнобедрений, тоді BC є медіаною і висотою.

АС = 12AD = 12 • 20 = 10 (м).

∆АСВ (∠C = 90°): tgA = BCAC.

BC = AC • tg A = 10 • 0,8 = 8 (м).

Відповідь: 8 м.

970. Ширина верхньої частини насипу шосейної дороги, поперечний переріз якого — рівнобічна трапеція, дорівнює 60 м (мал. 427). Яка ширина основи насипу, якщо його висота дорівнює 10 м, а кут укосу — 60°?

Дано: ABCD – рівнобічна трапеція,

BC = 60 м, BH = 10 м; ∠А = 60°.

Знайти: AD.

Розв’язання

∆AHB (∠H = 90°): tg A = ВНАН;

AH = ВНtg60° = 103 = 1033 (м).

СК = АН = 1033 (м); НК = ВС = 60 (м).

AD = AH + HK + KD = 1033 + 60 + 1033 = 60 + 2033 ≈ 71,5 м.

Відповідь: 71,5 м.

971. Довжина тіні від фабричної труби заввишки 40 м дорівнює

50 м. Виразіть у градусах висоту Сонця над горизонтом (мал. 428), дотримуючись такого плану: 1) знайдіть тангенс кута а; 2) за знайденим значенням тангенса побудуйте ∠A = α;

3) виміряйте транспортиром ∠A.

Дано: ∆ABC (∠С = 90°);

СА = 50 м; BC = 40 м.

Знайти: ∠В.

Розв’язання

tg A = BCAC = 4050;

∠A = 38°.

972. Спостерігачеві, який стоїть на висоті 50 м, видно автомобіль

під кутом 30° до горизонту (мал. 429). Як знайти відстань від

спостерігача до автомобіля?

Дано: ∆АВС (∠С = 90°),

ВС = 50 м; ∠DBA = 30°.

Знайти: АВ.

Розв’язання

∠САВ = ∠DBA = 30° – як внутрішні різносторонні при BD ∥ AC і січній АВ.

∆ВСА (∠C = 90°):

За властивістю катета, що лежить проти кута 30°:

АВ = 2 • ВС = 2 • 50 = 100 (м).

Відповідь: 100 м.

973. Чи правильно, що для розв’язування прямокутного трикутника

достатньо знати: 1) одну сторону; 4) одну сторону і прямий кут;

2) дві сторони; 5) одну сторону і гострий кут? 3) один гострий кут.

1) ні; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) так.

974. Чи правильно названо вид задачі, у якій вимагається розв’язати прямокутний трикутник: 1) за кутами; 2) за катетами;

3) за гіпотенузою; 4) за гіпотенузою і катетом; 5) за гіпотенузою та прямим кутом; 6) за гіпотенузою й гострим кутом; 7) за катетом і прямим кутом; 8) за катетом і гострим кутом?

1) ні; 2) так; 3) ні; 4) так; 5) ні; 6) так; 7) ні; 8) так.

975. За даними, наведеними на малюнках 439, 440, знайдіть х і у.

мал.439. Знайти х і у.

cos40° = х7; x = 7 • cos 40° = 7 • 0,766 = 5,36 (см);

sin40° = у7; y = 7 • sin 40° = 7 • 0,643 = 4,5 (см).

мал.440. Знайти х і у.

tg 56° = х9; x = 9 • tg 56° = 9 • 1,48 = 13,37 (см);

cos 56° = 9у; y = 9cos 56° = 90,559 = 16,1 (см).

976. За даними, наведеними на малюнках 441, 442, знайдіть кути α і β.

мал.441. Знайти α і β.

cos α = 58 = 0,625; α ≈ 51°;

sin β = 58 = 0,625; β ≈ 38°.

мал.442. Знайти α і β.

sin α = 810 = 45 = 0,8; α ≈ 53°.

cos β = 810 = 45 = 0,8; β ≈ 36°.

977. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) знайдіть:

1) BC, якщо AB = 5 см, ∠A = 55°; 2) AB, якщо AC = 7 см, ∠B = 41°;

3) AC, якщо BC = б см, ∠B = 38.

Дано: ∆АВС (∠C = 90°).

Знайти:

1) ВС, якщо AB = 5 см; ∠А = 55°.

sin A = BCAB; BC = AB • sin A = 5 • sin 55° = 5 • 0,819 = 4,1 (см).

2) АВ, якщо АС = 7 см, ∠В = 41°.

sin B = ACAB; AB = ACsinB = 7sin41° = 70,656 = 10,67 (см).

3) АС, якщо ВС = 6 см, ∠В = 38°.

tg B = ACBC; AC = BC • tg B = 6 • tg 38° = 6 • 0,781 = 4,69 (см).

Відповідь: 1) 4,1 см; 2) 10,67 см; 3) 4,69 см.

978. Знайдіть невідомі сторони прямокутного трикутника, якщо:

1) катет дорівнює 9 см, а протилежний йому кут — 38°;

2) катет дорівнює 10 см, а прилеглий до нього кут — 54.

Дано: ∆АВС (∠C = 90°).

Знайти:

1) АВ, АС, якщо АС = 9 см, ∠В = 38°.

sin B = ACAB; AB = ACsinB = 9sin38° = 90,616 = 14,62 (см).

tg B = ACBC; BC = ACtgB = 9tg38° = 90,781 = 11,52 (см).

2) АВ, АС, якщо ВС = 10 см, ∠В = 54°.

cos B = BCAB; AB = BCcosB = 10cos54° = 100,588 = 17,01 (см).

tg B = ACBC; AC = BC • tg B = 10 • tg 54° = 10 • 1,38 = 13,76 (см).

Відповідь: 1) 14,62 см; 11,52 см; 2) 17,01 см; 13,76 см.

979. У прямокутному трикутнику з гіпотенузою 14 см і кутом 65°

знайдіть: 1) катет, прилеглий до цього кута; 2) катет, протилежний цьому куту.

Дано: ∆АВС (∠C = 90°); AB = 14 см; ∠В = 65°.

Знайти:1) ВС; 2) АС.

Розв’язання

1) cos B = ВСАВ;

BC = AB • cos B = 14 • cos 65° = 14 • 0,423 = 5,92 (см).

2) sin B = АСАВ;

AC = AB • sin B = 14 • sin 65° = 14 • 0,906 = 12,68 (см).

Відповідь: 1) 5,92 см; 2) 12,68 см.

980. Знайдіть кут А прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°), якщо:

1) AB = 12 см, BC = 9 см; 2) AB = 10 см, AC = 6 см; 3) AC = 8 см, BC = 16 см.

Дано: ∆АВС (∠C = 90°).

Знайти: ∠А.

Розв’язання

1) АВ = 12 см; ВС = 9 см.

sin A = BCAB = 912 = 34 = 0,75; ∠A = 48°36’.

2) AB = 10 см; АС = 6 см.

cos B = ACAB = 610 = 35 = 0,6; ∠A = 53°6’.

3) AC = 8 см; ВС = 16 см.

tg A = ВСАС = 168 = 2; ∠A = 64°.

Відповідь: 1) 48°36’; 2) 53°6’; 64°.

981. У прямокутному трикутнику з гіпотенузою 20 см і катетом 14 см

знайдіть: 1) кут, прилеглий до цього катета;

2) кут, протилежний цьому катету.

Дано: ∆АВС (∠C = 90°); BC = 14 см; АВ = 20 см.

Знайти: 1) ∠В; 2) ∠А.

Розв’язання

1) cos B = BCAB = 1420 = 710 = 0,7; ∠B = 45°34’.

2) sin A = BCAB = 1420 = 710 = 0,7; ∠A = 44°26’.

Відповідь: 45°34’; 44°26’.

982. У прямокутному трикутнику катет становить 0,2 гіпотенузи. Знайдіть гострі кути трикутника.

Дано: ∆АВС (∠C = 90°); BC = 0,2AB.

Знайти: ∠А; ∠В.

Розв’язання

sin A = ВСАВ = 0,2АВАВ = 0,2; ∠A = 11°32’.

cos B = ВСАВ = 0,2АВАВ = 0,2; ∠B = 78°28’.

Відповідь: 11°32’; 78°28’.

983. Знайдіть кут між діагоналлю й більшою стороною прямокутника, якщо його сторони дорівнюють:

1) 6 см і 8 см; 2 ) 18 см і 20 см.

Дано: ABCD – прямокутник;

АС – діагональ.

Знайти: ∠CAD.

Розв’язання

1) CD = 6 см; AD = 8 см.

∆ADC (∠D = 90°):

tg ∠CAD = CDAD = 68 = 34 = 0,75; ∠CAD = 36°54’.

2) CD = 18 см; AD = 20 см.

∆ADC (∠D = 90°): tg ∠CAD = 1820 = 910 = 0,9;

∠CAD = 41°59’.

Відповідь: 1) 36°54’; 2) 41°59’.

984. Сторони прямокутника дорівнюють 7 см і 14 см. Знайдіть кут між його діагоналлю й більшою стороною.

Дано: ABCD – прямокутник;

CD = 7 см; AD = 14 cм.

Знайти: ∠CAD.

Розв’язання

∆ADC (∠D = 90°):

tg ∠CAD = CDAD = 714 = 12;

CAD = 26°36’.

Відповідь: 26°36’.

985. Через точку А до кола радіусом 45 см проведено дотичні AB і AC (мал. 443). Знайдіть кут, утворений дотичними, якщо:

1) АВ = 60 см; 2) АВ = 50 см.

Дано: коло K(O; R = 45 см);

АВ і АС – дотичні;

1) АВ = 60 см; 2) АВ = 50 см

Знайти: ∠А.

Розв’язання

1) ∆АВО (∠В = 90°):

tg ∠BAO = OBAB = 4560 = 34 = 0,75;

∠BAO = 36°52’.

A = 2 • ∠BAO = 2 • 36°52’ = 73°44’.

2) ∆ABO (∠B = 90°).

tg ∠BAO = OBAB = 4550 = 910 = 0,9; ∠BAO = 41°59’.

∠А = 2 • ∠ВАО = 2 • 41°59’ = 83°58’.

Відповідь: 1) 73°44’; 2) 83°58’.

986. Через точку В до кола радіусом 30 см проведено дотичні BM і BC (мал. 444). Знайдіть кут, утворений дотичними, якщо BM = 30 см.

Дано: коло К (О; R = 30 см);

ВМ, ВС – дотичні; ВМ = 30 см.

Знайти: ∠В.

Розв’язання

За властивістю дотичної: ВМ ⊥ ОМ.

∆ВМО (∠М = 90°).

ВМ = ОМ = 30 см, тоді ∆ВМО – рівнобедрений; ∠ОВМ = ∠ВОМ = 90° : 2 = 45°. ∠В = 2 • ∠ОВМ = 2 • 45° = 90°.

Відповідь: 90°.

987. Знайдіть невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за такими даними.

1) за двома катетами.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); AC = b, BC = a.

Знайти: АВ; ∠А; ∠В.

а) a = 2, b = 21.

Розв’язання

АВ = a2+ b2 = 202+212 = 400+441 = 841 = 29.

tg A = ab = 2021 = 0,9524; ∠A = 43°36’.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 43°36’ = 46°24’.

Відповідь: с = 29; α = 43°36; β = 46°24’.

б) a = 9, b = 12.

∆ABC – єгипетський з коефіцієнтом 3, АВ = 5 • 3 = 15.

tg A = ab = 912 = 34; ∠A = 36°52’

∠B = 90° – ∠A = 90° – 36°52’ = 53°8’

Відповідь: с = 15; α = 36°52’; β = 53°8’.

в) a = 24, b = 18.

∆ABC – єгипетський з коефіцієнтом 6;

АВ = 5 • 6 = 30.

tg A = ab = 2418 = 43 ≈ 1,333; ∠A = 53°4’.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 53°4’ = 36°56’.

Відповідь: с = 30; α = 53°4’; β = 36°56’.

г) a = 23,5; b = 40,2.

AB = a2+ b2 = 23,52+40,22 = 552,25+1616,04 = 2168,29 ≈ 46,56;

tg A = ab = 23,540,2 = 0,5846; ∠A = 30°19’.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 30°19’ = 59°41’.

Відповідь: с = 46,46; α = 30°19’; β = 59°41’.

2) за гіпотенузою та катетом

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); АВ = с; ВС = а.

Знайти: АС; ∠А; ∠В.

Розв’язання

а) с = 17, а = 15.

АС = с2-а2 = 172- 152 = 17-15(17+15) = 2 •32 = 64 = 8;

sin A = ac = 1517 = 0,8824; ∠A = 61°56’.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 61°56’ = 28°4’.

Відповідь: b = 8; α = 61°56’; β = 28°4’.

б) с = 20, а = 16.

∆АВС – єгипетський з коефіцієнтом 4;

АС = 3 • 4 = 12;

sin A = ac = 1620 = 45 = 0,8; ∠A = 53°8’;

∠B = 90° – ∠A = 90° – 53°8’ = 36°52’.

Відповідь: b = 12; α = 53°8’; β = 36°52’.

в) с = 65, а = 56.

АС = с2-а2 = 652- 562 = 4225-3136 = 1089 = 33.

sin A = ac = 5665 = 0,8615; ∠A = 59°29’.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 59°29’ = 30°31’.

Відповідь: b = 33; α = 59°29’; β = 30°31’.

г) с = 2,93, b = 2,85.

AC = с2-b2 = 2932- 2,852 = 8,5849-8,1225 = 0,4624 ≈

≈ 0,68.

cos A = bc = 2,852,93 ≈ 0,9727; ∠A = 13°25’.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 13°25’ = 76°35’.

Відповідь: b = 0,68; α = 13°25’; β = 76°35’.

988. Знайдіть невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за такими даними.

1) за гіпотенузою та гострим кутом.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); АВ = с; ∠А = α.

Знайти: АС, ВС, ∠В.

Розв’язання

а) с = 8; ∠А = 70°.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 70° = 20°.

AC = c • cos A = 8 • cos 70° = 8 • 0,342 = 2,74;

BC = c • sin A = 8 • sin 70° = 8 • 0,940 = 7,52.

Відповідь: b = 2,74; a = 7,52; β = 20°.

б) c = 82; ∠A = 42°.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 42° = 48°.

AC = c • cos A = 82 • cos 42° = 82 • 0,743 = 60,93.

BC = c • sin A = 82 • sin 42° = 82 • 0,669 = 54,86.

Відповідь: b = 60,93; a = 54,86; β = 48°.

в) c = 18,2; ∠A = 32°.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 32° = 58°.

AC = c • cos A = 18,2 • cos 32° = 18,2 • 0,848 = 15,43;

BC = c • sin A = 18,2 • sin 32° = 18,2 • 0,530 = 9,65.

Відповідь: b = 15,43; a = 9,65; β = 58°.

г) c = 4,67; ∠A = 65°;

∠B = 90° – ∠A = 90° – 65° = 25°.

AC = c • cos A = 4,67 • cos 65° = 4,67 • 0,423 = 1,98;

BC = c • sin A = 4,67 • sin 65° = 4,67 • 0,906 = 4,23.

Відповідь: b = 1,98; a = 4,23; β = 25°.

2) за катетом і прилеглим кутом.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); СВ = а; ∠В = β.

Знайти: АВ, АС, ∠А.

Розв’язання

а) а = 12; ∠В = 32°.

∠А = 90° – ∠В = 90° – 32° = 58°;

AB = acosB = 12cos32° = 120,848 = 14,15;

AC = a • tg B = 12 • tg 32° = 12 • 0,625 = 7,5.

Відповідь: с = 14,15; b = 7,5; α = 58°.

б) а = 18; ∠В = 17°.

∠А = 90° – ∠В = 90° – 17° = 73°.

AB = acosB = 18cos17° = 180,956 = 18,83;

AC = a • tg B = 18 • tg 17° = 18 • 0,306 = 5,5.

Відповідь: с = 18,83; b = 5,5; α = 73°.

в) а = 12; ∠В = 53°.

∠А = 90° – ∠В = 90° – 53° = 37°;

AB = acosB = 12cos53° = 120,602 = 19,94;

AC = a • tg B = 12 • tg 53° = 12 • 1,33 = 15,96.

Відповідь: с = 19,94; b = 15,96; α = 37°.

г) а = 3,71; ∠В = 19°.

∠А = 90° – ∠В = 90° – 19° = 71°;

AB = acosB = 3,71cos19° = 3,710,946 = 3,92;

AC = a • tg B = 3,71 • tg 19° = 3,71 • 0,344 = 1,28.

Відповідь: с = 3,92; b = 1,28; α = 71°.

989. Діагональ прямокутника дорівнює 25 см й утворює зі стороною

кут 36°. Знайдіть сторони прямокутника.

Дано: ABCD – прямокутник;

АС = 25 см; ∠CAD = 36°.

Знайти: AD; CD.

Розв’язання

∆ADC (∠D = 90°): cos ∠CAD = ADAC.

AD = AC • cos ∠CAD = 25 • 36° = 25 • 0,809 = 20,23 (см);

sin ∠CAD = CDAC.

CD = AC • sin ∠CAD = 25 • sin 36° = 25 • 0,588 = 14,7 (см).

Відповідь: 20,23 см; 14,7 см.

990. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см, а кут

при основі — 75°. Знайдіть:

1) основу трикутника; 2) висоту, проведену до основи.

Дано: ∆АВС; ∠А = 75°; АВ = ВС = 12 см.

Знайти: 1) АС; 2) BD.

Розв’язання

1) ∆ADB (∠D = 90°): cos A = ADAB;

AD = AB • cos A = 12 • cos 75° = 12 • 0,259 = 3,11 (см).

Висота BD також є медіаною:

АС = 2 • AD = 2 • 3,11 = 6,22 (см);

2) ∆ADB (∠D = 90°): sin ∠BAD = BDAB;

BD = AB • sin ∠BAD = 12 • sin 75° = 12 • 0,966 = 11,59 (см).

Відповідь: 1) 6,22 см; 2) 11,59 см.

991. У коло радіусом 5 см вписано рівнобедрений трикутник із кутом

між бічними сторонами 70°. Знайдіть:

1) висоту, проведену до основи; 2) бічну сторону трикутника.

Дано: ∆АВС – вписаний в коло; АВ = ВС, ∠В = 70°; ОА = 5 см.

Знайти: 1) BD; 2) AB.

Розв’язання

1) У рівнобедреному ∆АВС BD є медіаною, висотою і бісектрисою.

∠ABD = 12 • ∠B = 12 • 70° = 35°.

За властивістю вписаного кута:

∠AOD = 2 • ∠ABD = 2 • 35° = 70°;

∆ADO (∠D = 90°): sin ∠AOD = ADAO;

AD = OA • sin ∠AOD = 5 • sin 70° = 5 • 0,940 = 4,7 (см);

∆ADB (∠D = 90°): tg ∠ABD = ADBD.

BD = ADtg∠ABD = 4,7tg 35° = 4,70,7 = 6,71 (см);

2) ∆ADB (∠D = 90°): sin ∠ABD = ADAB.

AB = ADsin∠ABD = 4,7sin 35° = 4,70,574 = 8,19 (см).

Відповідь: 1) 6,71 см; 2) 8,19 см.

992. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 25 см, а висота, проведена до бічної сторони, — 21 см. Знайдіть: 1) бічну сторону трикутника; 2) кут між бічними сторонами трикутника.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС;

АС = 25 см; АК = 21 см – висота.

Знайти: 1) АВ; 2) ∠АВС.

Розв’язання

∆АКС (∠К = 90°): sin ∠C = AKAC = 2125 = 0,84.

∠C = 57°8’. ∠A = ∠C = 57°8’.

∠B = 180° – (∠A + ∠C) = 180° – (57°8’ + 57°8’) = 65°44’.

∆AKB (∠K = 90°): sin B = AKAB;

AB = AKsinB = 21sin65°44' = 210,9116 = 23,04 (см).

Відповідь: 1) 23,04 см; 2) 65°44’.

993. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) ∠A = 27°,

BC = 21 см. Знайдіть: 1) невідомий катет; 3) проекцію кожного катета на гіпотенузу. 2) гіпотенузу.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); ∠А = 27°;

ВС = 21 см; СК – висота.

Знайти: 1) АС; 2) АВ; 3) АК, ВК.

Розв’язання

1) ∆АВС (∠С = 90°): tg A = BCAC.

AC = BCtgA = 21tg 27° = 210,5095 = 41,22 (см);

2) ∆АВС (∠С = 90°): sin A = BCAB.

AC = BCsinA = 21tg 27° = 210,454 = 46,26 (см);

3) ∆AKC (∠K = 90°): cos A = AKAC.

AK = AC • cos A = 41,22 • cos 27° = 41,22 • 0,891 = 36,73 (см);

BK = AB – AK = 46,26 – 36,73 = 9,53 (cм).

Відповідь: 1) 41,22 см; 2) 46,26 см; 3) 36,73 см і 9,53 см.

994. Із точки, що розміщена на відстані 15 см від прямої, проведено дві похилі, які утворюють із прямою кути 24° і 61°. Знайдіть:

1) довжину похилих; 2) проекції похилих на пряму.

Дано: AD = 15 см – перпендикуляр;

АВ, АС – похилі; ∠В = 24°; ∠С = 61°.

Знайти: 1) AB i AC; 2) BD i DC.

Розв’язання

1) ∆ADB (∠D = 90°): sin B = ADAB.

AB = ADsinB = 15sin24° = 150,4067 = 36,88 (см);

∆ADС (∠D = 90°): sin С = ADAС.

AС = ADsinС = 15sin61° = 150,8746 = 17,15 (см);

2) ∆ADB (∠D = 90°): tg B = ADBD.

BD = ADtgB = 15tg24° = 150,4452 = 33,69 (см);

∆ADС (∠D = 90°): tg С = ADDС.

DС = ADtgС = 15tg61° = 151,804 = 8,31 (см).

Відповідь: 1) 36,88 см і 17,15 см; 2) 33,69 і 8,31 см.

995. Знайдіть висоту ромба, якщо його сторона дорівнює 7,5 см, а гострий кут — 22°.

Дано: ABCD – ромб; ∠А = 22°;

АВ = 7,5 см; ВН – висота.

Знайти: ВН.

Розв’язання

∆AHB (∠H = 90°): sin A = BHAB.

BH = AB • sin A = 7,5 • sin 22° = 7,5 • 0,3746 = 2,81 (см).

Відповідь: 2,81 см.

996. Сторони паралелограма дорівнюють 5 см і 8 см, а гострий кут — 36°. Знайдіть висоти паралелограма.

Дано: ABCD – паралелограм;

ВН, ВМ – висоти; ∠А = 36°.

АВ = 5 см; ВС = 8 см.

Знайти: ВН, ВМ.

Розв’язання

∆АНВ (∠Н = 90°): sin A = BHAB.

BH = AB • sin A = 5 • sin 36° = 5 • 0,5878 = 2,94 (см);

∆ВМС (∠М = 90°): ∠С = ∠А = 36°;

sin C = BMBC;

BM = BC • sin C = 8 • sin 36° = 8 • 0,5878 = 4,7 (см).

Відповідь: 2,94; 4,7 см.

997. Сторона ромба дорівнює 64,5 см, а гострий кут — 28°. Знайдіть

діагоналі ромба.

Дано: ABCD – ромб; ∠А = 28°;

АВ = 64,5 см.

Знайти: АС; BD.

Розв’язання

За властивістю ромба:

∠BAO = 12 • ∠A = 12 • 28° = 14°.

∆AOB (∠O = 90°): cos ∠BAO = AOAB.

AO = AB • cos ∠BAO = 64,5 • cos 14° = 64,5 • 0,9703 = 62,59 (см);

АС = 2 • АО = 2 • 62,59 = 125,18 (см);

sin ∠BAO = BOAB.

BO = AB • sin ∠BAO = 64,5 • sin 14° = 64,5 • 0,2419 = 15,6 (см);

BD = 2 • BO = 2 • 15,6 = 31,2 (см).

Відповідь: 125,18 см; 31,2 см.

998. У трапеції кути при більшій основі дорівнюють 16° і 54°, висота

трапеції — 24 см, а менша основа — 18 см. Знайдіть більшу основу

трапеції.

Дано: ABCD – трапеція;

∠A = 16°, ∠D = 54°, BC = 18 см.

BK = CM = 24 см.

Знайти: AD.

Розв’язання

∆АКВ (∠К = 90°): tg A = BKAK.

AK = BKtgA = 24tg 16° = 240,2867 = 83,71 (см);

∆CMD (∠M = 90°): tg D = CMMD.

MD = CMtgD = 24tg 54° = 241,3764 = 17,44 (см);

KM = BC = 18 см;

AD = AK + KM + MD = 83,71 + 18 + 17,44 = 119,15 (см).

Відповідь: 119,15 см.

999. Основи трапеції дорівнюють 15 см і 20 см, а бічна сторона, яка дорівнює 10 см, утворює з більшою основою кут 48°. Знайдіть висоту

трапеції.

Дано: ABCD – трапеція; ВС = 15 см;

AD = 20 cм; ∠А = 48°; АВ = 10 см.

Знайти: ВК.

Розв’язання

Проведемо висоту ВК.

∆АКВ (∠К = 90°): sin A = BKAB;

BK = AB • sin A = 10 • sin 48° = 10 • 0,7431 = 7,43 (см).

Відповідь: 7,43 см.

1000. У рівнобічній трапеції більша основа дорівнює 8 см, кут при основі — 41°, висота трапеції — 2 см. Знайдіть меншу основу трапеції.

Дано: ABCD – трапеція; AB = CD; AD = 8 см;

∠А = 41°; ВК = 2 см – висота.

Знайти: ВС.

Розв’язання

∆АКВ (∠К = 90°): tg A = BKAK.

AK = BKtg A = BKtg 41° = 20,8693 = 2,3 (см);

MD = AK = 2,3 (см);

KM = AD – (AK + MD) = 8 – (2,3 + 2,3) = 3,4 (см);

BC = KM = 3,4 (см).

Відповідь: 3,4 см.

1001. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, якщо кут при

основі дорівнює 49°54’, а основа більша за бічну сторону на 10,8 см.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС; ∠А = ∠С = 49°54’;

АС – АВ = 10,8 (см).

Знайти: Р_АВС.

Розв’язання

В рівнобедреному ∆АВС BD є медіаною, висотою і бісектрисою. AD = 12AC.

Нехай АВ = х см, тоді АС = (х + 10,8) см, AD = 12(x + 10,8) см.

∆ADB (∠D = 90°): cos A = ADAB.

cos 49°54’ = x+10,82x;

0,6441 = x+10,82x;

1,2882x = x + 10,8;

1,2882x – x = 10,8;

0,2882x = 10,8;

x = 37,47;

АВ = 37,47 см;

АС = 37,47 + 10,8 = 48,27 (см);

Р_АВС = АВ + ВС + АС = 37,47 + 37,47 + 48,27 = 123,21 (см).

Відповідь: 123,21 см.

1002. Тінь від стовпа, висота якого дорівнює 9 м, становить 5 м. Виразіть у градусах висоту Сонця над горизонтом.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); ВС = 9 м; АС = 5 м.

Знайти: ∠В.

Розв’язання

∆АВС (∠С = 90°):

tg A = BCAC = 95 = 1,8; ∠A = 61°.

Відповідь: 61°.

1003. Гірська залізниця на одному з перегонів підіймається на 1 м на кожні 60 м шляху. Знайдіть кут підйому дороги на цій ділянці.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); ВС = 1 м;

АС = 60 м.

Знайти: ∠А.

Розв’язання

∆АВС (∠С = 90°):

tg A = BCAC = 160 = 0,0167; ∠A = 0°57’.

Відповідь: 0°57’.

1004. На яку висоту h піднявся пішохід, який пройшов n км прямою дорогою, що підіймається під кутом а до горизонту? Обчисліть h.

Знайти h, якщо:

1) n = 1,5 км; α = 4°30’.

tg α = hn;

h = n • tg α = 1,5 • tg 4°30’ = 1,5 • 0,0787 = 0,118 (км);

2) n = 3 км; α = 8°18’.

tg α = hn;

h = n • tg α = 3 • tg 8°18’ = 3 • 0,1459 = 0,438 (км).

Відповідь: 1) 0,118 км; 2) 0,438 км.

1005. Вертикальний промінь прожектора перетинає хмару. Яка ви­

сота нижньої межі хмари, якщо спостерігач, який стоїть на

відстані 600 м від прожектора, бачить місце перетину променя

прожектора і хмари під кутом 75°?

Дано: ∆АВС (∠С = 90°);

АС = 600 м; ∠А = 75.

Знайти: ВС.

Розв’язання

∆АВС (∠С = 90°): tg A = BCAC.

BC = AC • tgA = 600 • tg 75° = 600 • 3,732 = 2239,2 (м).

Відповідь: 2239,2.

1006. Знайдіть відстань між пунктами A i B (до пункту В підійти не

можна), якщо AC = 60 м, ∠BAC = 41°, ∠ACB = 90° (мал. 445).

Дано: (∠С = 90°); АС = 60 м; ∠А = 41°.

Знайти: АВ.

Розв’язання

∆АВС (∠С = 90°) : cos A = ACAB.

AB = ACcosA = 60cos41° = 600,7547 = 79,5 (м).

Відповідь: 79,5 м.

1007. Санаторій розташований на вершині гори. Пряма дорога до санаторію завдовжки 1500 м має кут підйому 5°. На якій висоті від підніжжя гори розташований санаторій?

Дано: ∆АВС (∠С = 90°);

АВ = 1500 м; ∠А = 5°.

Знайти: ВС.

Розв’язання.

∆АВС (∠С = 90°); sin A = BCAB.

BC = AB • sin A = 1500 • sin 5° = 1500 • 0,0872 = 130,8 (м).

Відповідь: 130,8 м.

1008. Щогла закріплена трьома однаковими тросами, що нахилені

до землі під кутом 64°. Нижні кінці тросів віддалені від щогли

на 35 м. На якій висоті закріплені на щоглі верхні кінці тросів?

Дано: ∆АВС (∠С = 90°);

АС = 35 м; ∠А = 64°.

Знайти: ВС.

Розв’язання

∆ABC (∠C = 90°) : tg A = BCAC;

BC = AC • tg A = 35 • tg 64° = 35 • 2,050 = 71,75 (м).

Відповідь: 71,75 м.

1016. Чи правильно, що периметр многокутника — це сума його: 1 ) кутів; 2) сторін?

1) ні; 2) так.

1017. Чи правильно, що діагональ многокутника сполучає: 1) дві сусідні його вершини; 2) дві несусідні його вершини.

1) ні; 2) так.

1018. Чи правильно записано формулу для обчислення суми кутів

n–кутника.

1) ні; 2) ні; 3) так.

1020. Чи правильно, що у многокутника, вписаного в коло, на колі лежать: 1) середини всіх його сторін; 2) усі вершини?

1) ні; 2) так.

1021. Чи правильно, що у многокутника, описаного навколо кола, до кола дотикаються: 1) усі його діагоналі; 2) усі його сторони?

1) ні; 2) так.

1023. Які діагоналі можна провести в n–кутнику ABCDEF з вершини:

1) А; 2) С; З) F?

1) діагоналі з вершини А: AC, AD, AE.

2) діагоналі з вершини С: CA, CF, CE.

3) діагоналі з вершини F: FB, FC, FD.

1037. Навколо кола опишіть: 1) шестикутник; 2) п’ятикутник. Позначте точки їх дотику до кола. Виміряйте утворені на сторонах відрізки. Чи справджується властивість відрізків дотичних? Як можна знайти периметр многокутника?

1) описаний шестикутник ABCDKL.

LP, LM – дотичні; LP = LM = 1,2 см.

2) описаний п’ятикутник ABCDE.

AM, AK – дотичні, AM = AK = 1,6 см.

1046. Три кути многокутника дорівнюють по 100°. Усі інші кути дорівнюють по 120°. Яка кількість вершин у многокутнику?

Дано: n – кутник; три кути по 100°; інші кути по 120°.

Знайти: n.

Розв’язання

Сума кутів n–кутника: S = (n – 2) • 180°;

За умовою: S = 3 • 100° + (n – 3) • 120°;

Складаємо рівняння:

(n – 2) • 180 = 3 • 100 + (n – 3) • 120;

180n – 360 = 300 + 120n – 360;

180n – 120n = 300;

60n = 300;

n = 5.

Відповідь: 5.

1051. У рівносторонній трикутник зі стороною 6 см вписано коло (мал. 470). Знайдіть діагональ квадрата, вписаного в дане коло.

Дано: ∆АВС – рівносторонній, описаний навколо кола; KNML – квадрат, вписаний в коло; АВ = 6 см.

Знайти: NL.

Розв’язання

∠А = ∠В = ∠С = 60°;

∆ALB (∠L = 90°): sin A = BLAB.

BL = AB • sinA = 6 • sin 60° = 6 • 32 = 33 (см);

Центр кола О є точкою перетину медіан. За властивістю медіан

ВО : OL = 2 : 1.

OL = 13BL = 13 • 33 = 3 (см);

ML = 2 • OL = 23 (см).

Відповідь: 23 см.

1052. Доведіть, що кожний кут многокутника менший від 180°.

Довести, що кожний кут многокутника менший від 180°.

Доведення

S = 180° • (n – 2);

Середнє арифметичне всіх внутрішніх кутів:

Sn = 180°(n-2)n = 180° – 360°n;

180° – 360°n < 180°.

Отже, кожний кут многокутника менший за 180°.

1057. Рівнобічну трапецію з кутом при основі 54° вписано в коло. Кут між діагоналями трапеції, який лежить проти бічної сторони, дорівнює 36°. Де розташований центр кола, вписаного в дану трапецію?

Дано: ABCD – рівнобічна трапеція,

вписана в коло; ∠А = 54°; ∠ВОА = 36°.

Де розташований центр кола, вписаного

в трапецію?

Розв’язання

Центр кола, вписаного в рівнобічну трапецію є серединою висоти трапеції KL при умові, що BC + AD = AB + CD.

1058. Найпростіше мансардне покриття утворює у вертикальному

розрізі половину восьмикутника, у якому всі сторони рівні й усі кути рівні (мал. 471). Знайдіть ширину перекриття BD, сторону восьмикутника та висоту мансардної кімнати ABDE, якщо AE = 6 м.

Дано: 8–кутник; AB = BC = CD = DE;

∠B = ∠C = ∠D; AE = 6 м.

Знайти: BD; AB; BH.

Розв’язання

R = 12AE = 12 • 6 = 3 (см);

α = 180°(n-2)n = 180°(8-2)8 = 180° •68 = 135°.

∠BAO = 135°2 = 67,5°.

∆ВОС – рівнобедрений; ∠ВОС = 360°8 = 45°.

∆COD – рівнобедрений; ∠COD = 360°8 = 45°.

∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 45° + 45° = 90°.

Отже, ∆BOD – прямокутний.

BD = OB2+ OD2 = 32+ 32 = 9+9 = 18 = 32 (м);

BP = 12BD = 322 (м);

ВН = ВР = 322 м.

∆АНВ (∠Н = 90°): ∠ВАН = 67,5°.

sin∠BAH = BHAB;

AB = BHsin∠BAH = 322 •in 67,5° = 322 •0,9239 = 321,8478 ≈ 2,3 м.

Відповідь: 32 м; 2,3 м; 1,52 м.