Вправи: 559

559. Із точки до прямої проведено дві похилі, довжини яких відносяться як 5 : 6, а проекції цих похилих на пряму дорівнюють 7 см і 18 см. Знайдіть відстань від даної точки до цієї прямої.

Нехай дано пр. а, т. А ∉ пр. а, АВ ⊥ пр. а, АК і АМ — похилі, АК : АМ = 5 : 6, КВ = 7 см, ВМ = 18 см. Знайдемо АВ. Нехай х (см) — 1 частина, тоді АК = 5х (см), АМ = 6х (см).

Розглянемо ∆АВК, ∠В = 90° (АВ ⊥ пр. а), за теоремою Піфагора АК² = АВ² + ВK²;

АВ² = АK² – ВК²; АВ² = (5x)² – 7x;

АВ² = 25x² – 49 (*). Розглянемо ∆АВМ, ∠В = 90° (АВ ⊥ пр. а), за теоремою Піфагора АМ² = АВ² + ВМ²; АВ² = АМ² – ВМ²;

АВ² = (6х)² – 18²; АВ² = 36x² – 324 (**). Прирівняємо отримані рівності (*) і (**). 25x² – 49 = 36x² – 324; 25x² – 36x² = –324 + 49; –11x² = –275; x² = 25; x = 5. АВ² = 25 • 5² – 49 = 625 – 49 = 576; АВ = 24 см.

Відповідь: АВ = 24 см.