Вправи: 529

529. У вписаного в коло многокутника вибрали вершину та провели

всі діагоналі, яким ця вершина належить. Доведіть, що серед трикутників, що утворилися, не більше ніж один є гострокутним.

За умовою многокутник вписано у коло, тому його центр знаходиться всередині цього многокутника. З однієї вершини можна провести n — 2 діагоналі. Можливі два випадки розташування центра кола відносно утворення трикутників: 1) центр належить одній з діагоналей;

2) центр знаходиться всередині одного з трикутників.

1) Якщо центр знаходиться на діагоналі, тоді трикутник, до яких належить ця діагональ, є прямокутними (діагональ буде діаметром кола). В цьому випадку гострокутних трикутників немає.

2) Центр знаходиться всередині одного з трикутників, тому цей трикутник буде гострокутним.

Отже, або один гострокутний трикутник, або його не має.