Вправи: 325

325. Периметр трикутника ABC дорівнює 30 см. Точка дотику

вписаного кола до сторони AB ділить її у відношенні 3 : 2, рахуючи від вершини А, а точка дотику до сторони BC віддалена від вершини C на 5 см. Знайдіть сторони трикутника.

За умовою АК : КВ = 3 : 2. Нехай АК = 3x (см), ВК = 2х (см). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АВ = АК + КВ, АВ = Зх + 2х = 5х (см). За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо: АК = АР = Зх (см), ВК = ВN = 2х (см), РС = СN = 5 см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо:

ВС = ВN + NC, ВС = 2х + 5 (см), АС = АР + РС, АС = Зх + 5 (см).

Р_∆ABC = АВ + ВС + АС.

Складемо і розв’яжемо рівняння: 5х + 2х + 5 + Зх + 5 = 30;

10x + 10 = 30; 10x = 30 – 10; 10х = 20; х = 20 : 10; х = 2. Отже,

маємо: АВ = 5 • 2 = 10 (см), ВС = 2 • 2 + 5 = 9 (см),

АС = 3 • 2 + 5 = 11 (см).

Відповідь: 10 см, 9 см, 11 см.