Вправи: 213

213. До кола із центром O через точку C проведено дотичні CA і CB (А і В — точки дотику). Відрізок AD — діаметр кола. Доведіть, що

BD ∥ CO.

Розглянемо ∆OАС і ∆OВС. За властивістю дотичних, проведених до кола, маємо: ОА ⊥ АС і ОВ ⊥ СВ.

1) ∠САО = ∠СВО = 90°; 2) ОА = ОВ = R (радіуси);

3) ОС — спільна сторона.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆АОС = ∆ВОС. За властивістю рівних фігур маємо: ∠СОА = ∠ВОС. Нехай ∠СОА = х, тоді ∠СОВ = х. Розглянемо ∆DОВ — рівнобедрений (DO = ОВ = R).

За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо:

∠ОВВ = ∠ОDВ.

За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠АОВ = ∠АОС + ∠СОВ,

∠АОВ = х + х = 2х. ∠АОВ і ∠BOD — суміжні. За теоремою про суміжні

кути маємо: ∠АОВ + ∠BOD = 180°, ∠BOD = 180° – 2х. Розглянемо

∆BOD. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠BOD + ∠OBD + ∠ODB = 180°, ∠OBD + ∠ODB = 180° – (180° – 2х) = 180° – 180° + 2х = 2х. ∠OBD = ∠ODB = (2х) : 2 = х. Отже, маємо: ∠АОС = ∠ODB (відповідні). За ознакою паралельних прямих маємо: СО ∥ BD, AD — січна. Доведено.