Вправи: 714

714. Доведи, що сума раціонального та ірраціонального чисел завжди є числом ірраціональним.

Припустимо, що сума раціонального та ірраціонального чисел є числом раціональним, тоді маємо: якщо х — ірраціональне, то

m1n1 + х = m2n2, де m₁, m₂ ∈ Z, n₁, n₂ ∈ Z, отже, х = m2n2 – m1n1 = m2n1- m1n2n2n1, m₂n₁ – m₁n₂ ∈ Z, n₁n₂ ∈ N, тоді x — раціональне, протиріччя умові, отже, припущення не правильне. Сума раціонального та ірраціонального чисел є числом ірраціональним.