Вправи: 715

715. Доведи, що ірраціональним є число: а) 2; б) 3; в) 6.

а) Припустимо що 2 — число раціональне, тоді 2 = mn, де mn —

нескоротний дріб, m ∈ Z, n ∈ N, тоді 2 = m2n2, 2n² = m², тоді m — парне, m = 2m₁, тому n² = 2m12, тому n — парне, отже, дріб mn — скоротний, протиріччя. Висновок: 2 — число ірраціональне.

б) Припустимо, що 3 — число раціональне, тоді 3 = mn, де mn —

нескоротний дріб, 3 = m2n2, Зn² = m², число m — ділиться на 3, отже,

m = 3m₁, тому n² = Зm12, тому n — ділиться на 3. Отже, mn —

скоротний, протиріччя, 3 — ірраціональне число.

в) 6 = 2 • 3, 2 ≠ 0, 3 ≠ 0. 2, 3 — числа ірраціональні, тому 6 — ірраціональне, доведено.