Вправи: 727

727. При яких значеннях a сума квадратів коренів рівняння

x² – 4x + a = 0 дорівнює: 1) 12; 2) 6?

1) х² – 4х + а = 0, за теоремою Вієта х₁ + х₂ = 4 і х₁ • х₂ = a;

х₁ = 4 – х₂; за умовою x12 + x22 = 12, маємо

(4 – х₂)² + x22 = 12; 16 – 8х₂ + x22 + x22 – 12 = 0;

2x22 – 8х₂ + 4 = 0; x22– 4х₂ + 2 = 0; D = 16 – 8 = 8;

D = 8 = 22; x2'= 4+222 = 2 + 2 або x2' = 2 – 2;

якщо х₂ = 2 + 2, то х₁ = 4 – (2 + 2) = 2 – 2;

х₁ • х₂ = (2 + 2)(2 – 2) = 2, а = 2;

якщо х₂ = 2 – 2, то х₁ = 4 – (2 – 2) = 2 + 2;

х₁ • х₂ = (2 – 2)(2 + 2) = 2, а = 2.

Відповідь: а = 2.

2) х² – 4х + а = 0, за теоремою Вієта х₁ + х₂ = 4 і х₁ • х₂ = а,

х₁ = 4 – х₂; за умовою x12+ x22= 6, маємо (4 – х₂)² + x22 = 6;

16 – 8x₂ + x22 – 6 = 0; 2x22– 8x₂ +10 = 0; x22 – 4х₂ + 5 = 0;

D = 16 – 45 = – 4 < 0, коренів немає.

Відповідь: такого значення а не існує.