Відповіді до вправ § 20 - § 26: 25.30 (1)

25.30 Розв’яжіть рівняння:

1) x – x – 6 = 0.

x = t, де t ≥ 0. Тоді x = (x)² = t².

t² – t – 6 = 0; D = (–1)² – 4 • (–6) = 25;

t₁ = 1+52 = 3; t₂ = 1-52 = –2 – не задовольняє умову t ≥ 0;

x = 3; x = 9.

2) (х² + 2х – 2)(х² + 2х – 4) = 8.

x² + 2х = t. Маємо (t – 2)(t – 4) = 8; t² – 2t – 4t + 8 = 0;

t² – 6t = 0; t(t – 6) = 0; t₁ = 0; t₂ = 6.

1) t₁ = 0; x² + 2х = 0; х(х + 2) = 0; x₁ = 0; x₂ = –2.

2) t₂ = 6; x² + 2х = 6; х² + 2х – 6 = 0; D = 2² – 4 • (–6) = 28;

x_3,4 = -2 ±272 = –1 ± 7.

3) (х – 2)⁴ – 2(х – 2)² – 3 = 0.

(х – 2)² = t, де t ≥ 0. Тоді t² – 2t – 3 = 0; D = (–2)² – 4 • (–3) = 16;

t₁ = 2+42 = 3; t₂ = 2-42 = –1 – не задовольняє умову t ≥ 0.

(х – 2)² = 3; х – 2 = ± 3; x_1,2 = 2± 3.

4) (x² + х + 1)² – 8x² – 8x – 1 = 0.

(х² + х + 1)² – 8(x² + х) – 1 = 0; х² + х = t.

Тоді (t + 1)² – 8t – 1 = 0; t² + 2t + 1 – 8t – 1 = 0; t² – 6t = 0;

t(t – 6) = 0; t₁ = 0; t₂ = 6.

1) t₁ = 0; x² + x = 0; x(x + 1) = 0; x₁ = 0; x₂ = –1.

2) t₂ = 6; x² + x = 6; x² + x – 6 = 0; D = 1² – 4 • (–6) = 25;

x₃ = -1+52 = 2; x₄ = -1-52 = –3.

Відповідь: 1) 9; 2) 0; –2; –1 ± 7; 3) 2 ± 3; 4) 0; –1; 2; –3.