Вправи: 713

713. Знайдіть значення a.

х² – ах + 8 = 0, за теоремою Вієта х₁ + х₂ = а і х₁ • х₂ = 8. За умовою x1x2 + x2x1 = 52, заміна x1x2 = t (t ≠ 0), x2x1 = 1t, маємо

t + 1t = 52; t + 1t – 52 = 0; 2t2-5t+2t = 0; 2t² – 5t + 2 = 0;

D = 25 – 16 = 9; D = 3; t₁ = 5+34 або t₂ = 5-34;

t₁ = 2 або t₂ = 12. Обернена заміна: x1x2 = 2 або x2x1 = 12,

х₁ = 2х₂ або х₂ = 2x₁.

Якщо х₁ = 2x₂, то 2х₂ • х₂ = 8, x22 = 4, х₂ = 2 або х₂ = –2;

х₁ = 4 або х₂ = –4.

Якщо х₂ = 2х₁, то х₁ • 2x₂ = 8, x22 = 4, х₁ = 2 або х1 = –2;

х₂ = 4 або х₂ = –4.

Маємо а = 2 + 4 = 6 або a = –2 – 4 = –6.

Відповідь: 6 або 6.