Вправи: 67

67. На сторонах квадрата записано чотири натуральних числа. У кожній вершині квадрата записано число, яке дорівнює добутку чисел, записаних на сторонах, для яких ця вершина є спільною. Сума чисел, записаних у вершинах, дорівнює 55. Знайдіть суму чисел, записаних на сторонах квадрата.

Позначимо числа на сторонах квадрата х, у, z, k, тоді

добутки будуть дорівнювати ху, уz, kz та kх. Сума добутків

ху + уz + kz + kх дорівнює 55.

ху + уz + kz + kх = 55. Розкладаємо ліву частину рівняння

на множники способом групування: у(х + z) + k(х + z) = (х + z)(у + k).

Число 55 можна розкласти на прості множники одним способом 55 = 5 • 11, тому одна сума дорівнює 5, а друга 11. Сума чотирьох чисел дорівнює 5 + 11 = 16.