Вправи: 1135

1135. З міста M у місто N зі швидкістю 12 км/год виїхав велосипедист. Через 1 год у тому самому напрямі зі швидкістю 15 км/год виїхав другий велосипедист. Ще через 1 год з міста M у тому самому напрямі виїхав ще й мотоцикліст, який обігнав одного з велосипедистів через 10 хв після того, як обігнав іншого. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо вона більша за 50 км/год.

Нехай швидкість мотоцикліста х км/год.

1) Розглянемо випадок, коли спочатку мотоцикліст наздогнав другого велосипедиста і це відбулося через t год після старту другого велосипедиста.

Учасникруху	Мотоцикліст наздогнав ІІ вел.	Мотоцикліст наздогнав І вел.
	U, км/год	t, год	s, км	U, км/год	t, год	s, км
ІІ вел.				12	t + 116	12(t + 116)
I вел.	15	t	15t
Мотоц.	х	t – 1	x(t – 1)	x	t – 56	x(t – 56)
Рівняння	15t = x(t – 1)	12(t + 116) = x(t – 56)

З першого рівняння маємо х = 15tt-1, підставимо у друге 12(t + 116) = 15tt-1(t – 56); (12t + 14)(t – 1) = 15t² – 12,5t; 12t² + 14t – 12t – 14 = 15t² – 12,5t; 3t² – 14,5t + 14 = 0. t₁ = 3,5; t₂ = 113.

x₁ = 15 • 3,53,5-1 = 21 (км/год) – не задовольняє умову задачі (бо за умовою, х > 50 км/год);

x₂ = 15 • 113113- 1 = 60 (км/год).

2) Розглянемо випадок, коли спочатку мотоцикліст наздогнав першого велосипедиста і це відбулося через t год після старту першого велосипедиста.

Учасникруху	Мотоцикліст наздогнав І вел.	Мотоцикліст наздогнав ІI вел.
	U, км/год	t, год	s, км	U, км/год	t, год	s, км
ІІ вел.	12	t	12t
I вел.				15	t – 56	15(t – 56)
Мотоц.	х	t – 2	x(t – 2)	x	t – 156	x(t – 156)
Рівняння	12t = x(t – 2)	15(t + 56) = x(t – 156)

З першого рівняння маємо х = 12tt-2, підставимо у друге

15t – 12,5 = 12t(t-156)t-2; (15t – 12,5)(t – 2) = 12t² – 22t;

15t² + 12,5t – 30t + 25 = 12t² – 22t; 3t² – 20,5t + 25= 0.

D = 20,5² – 4 • 3 • 25 = 120,25

t₁ = 20,5+ 120,253; тоді х = 12tt-2 < 50 – не задовольняє умову задачі

t₂ = 20,5- 120,253 < 2 – не задовольняє умову задачі.

Відповідь: 60 км/год.