Вправи: 1131 (1-2)

1131. Розв’яжіть рівняння:

1. (2x+13x-4)² + (3x-42x+1)² = 2.

Нехай (2x+13x-4)² = t, тоді (3x-42x+1)² = 1t. Маємо t + 1t – 2 = 0;

t2- 2t+1t = 0; t = 1. Тоді (2x+13x-4)² = 1; 2x+13x-4 = 1 або 2x+13x-4 = –1.

1) 2x + 1 = 3x – 4,

x ≠ 43; x = 5.

2) 2x + 1 = –(3x – 4),

x ≠ 43; x = 0,6.

2. (5x-62-7x)² + (7x-25x-6)² = 4,25.

Нехай (5x-62-7)² = t, тоді (7x-25x-6)² = (2-7x5x-6)² = 1t.

Маємо t + 1t = 4,25; t₁ = 4; t₂ = 14.

1) (5x-62-7x)² = 4; 5x-62-7x = 2 або 5x-62-7x = –2.

a) 5x – 6 = 4 – 14x,

x ≠ 27; x = 1019.

б) 5x – 6 = 4 – 14x,

x ≠ 27; x = –29.

2) (5x-62-7x)² = 14; 5x-62-7x = 12 або 5x-62-7x = –12.

a) 2(5x – 6) = 2 – 7x,

x ≠ 27; x = 1417.

б) –2(5x – 6) = 2 – 7x,

x ≠ 27; x = 103; x = 313.

3. 7(x + 1x) – 2(x² + 1x2) = 9.

Нехай t = x + 1x, тоді t² = x² + 2 + 1x2 i x² + 1x2 = t² – 2.

Маємо 7t – 2(t² – 2) = 9; 2t² – 7t + 5 = 0; t₁ = 1; t₂ = 2,5.

1) t = 1; x + 1x = 1; x2- x+1x = 0 ; немає розв’язків;

2) t = 2,5; x + 1x = 2,5; x₁ = 2; x₂ = 12.

4. 3(4x2 + x29) + 4(x3 + 2x) – 8 = 0.

Позначимо x3 – 2x = t, тоді t² = x29 – 2 • x3 • 2x + 4x2; x29 + 4x2 = t² + 43.

Маємо 3(t² + 43) + 4t – 8 = 0; 3t² + 4 + 4t – 8 = 0; 3t² + 4t – 4 = 0;

t₁ = 23; t₂ = –2.

1) x3– 2x = 23; x² – 2x – 6 = 0; x_1,2 = 1 ± 7.

2) x3 – 2x = –2; x² + 6x – 6 = 0; x_3,4 = –3 ± 15.

Відповідь: 1)5; 0,6; 2) 1019; –29; 1417; 313; 3) 2; 12; 4) 1 ±7; –3 ±15.