Вправи: 1117

1117. Нехай х₁ і х₂ – корені рівняння 2х² + 7x – 1 = 0. Складіть

квадратне рівняння, коренями якого є числа:

Оскільки х₁ і х₂ – корені рівняння 2х² + 7х – 1 = 0, то за теоремою Вієта х₁ + х₂ = –72; х₁х₂ = –12.

1) Нехай у₁ = 1x1 і у₂ = 1x2 – корені рівняння x² + px + q = 0.

Тоді р = –(у₁ + у₂) = –(1x1 + 1x2) = x1+ x2x1x2 = –-72-12 = –7;

q = y₁y₂ = 1x1 • 1x2 = 1x1x2 = 1-12 = –2.

x² – 7x – 2 = 0 – шукане рівняння.

2) Нехай у₁ = x1x2 – 3 і у₂ = x2x1 – 3 – корені рівняння х² + рх + q = 0.

Тоді p = –(y₁ + y₂) = (x1x2 – 3 + x2x1 – 3) – (x12+x22x1x2 – 6) = 6 – (x1+ x2)2-2x1x2x1x2 = 6 + 2 • 1314 = 3212.

q = y₁y₂ = (x1x2 – 3)( x2x1 – 3) = 1 – 3 • (x1x2 + x2x1) + 9 = 10 – 3 • (x1+ x2)2-2x1x2x1x2 = 10 – 3 • (-72)2-2 • (-12) -12 = 10 + 6 • 1314 = 8912.

x² + 32,5x + 89,5 = 0; 2x² + 65x + 179 = 0 – шукане рівняння.

3) Нехай y₁ = x₁х23 і y₂ = х₂х13 – корені рівняння x² + рх + q = 0.

Тоді p + –(y₁ + y₂) = –(x₁x23+ x₂x13) = –x₁x₂(x12 + x22) = –x₁x₂((x₁ + x₂)² – 2x₁x₂) = –(–12)((– 72)² – 2 • (–12)) = 12 • 1314 = 658;

q = y₁y₂ = x₁x23 • x₂x13 = (x₁x₂)⁴ = (–12)⁴ = 116.

x² + 658x + 116 = 0; 16x² + 106x + 1 = 0 – шукане рівняння.

Відповідь: 1) x² – 7x – 2 = 0; 2) 2x² + 65x + 179 = 0;

3) 16x² + 106x + 1 = 0.