Вправи: 1113

1113. Доведіть, що число 3 не може бути дискримінантом

квадратного рівняння ах² + bх + с = 0, якими б не були цілі

числа а, b, с.

1) ах² + bх + с = 0; D = b² – 4ас; а, b, с — цілі числа.

2) Припустимо, що b² – 4ас = 3. Тоді b² = 4ас + 3. Оскільки а і с — цілі числа, то 4ас + 3 — непарне число. Тому b² — непарне число, а тому b = 2k + 1, де k ∈ Z. Маємо (2k + 1)² = 4ас + 3; 4k² + 4k + 1 = 4ас + 3; 4k² + 4k – 4ас = 2; 2(k² + k – ас) = 1.

Оскільки k, а, с — цілі числа, то остання рівність неможлива.

3) Наше припущення неправильне. Отже, D ≠ 3, що й треба було довести.