Задачі підвищеної складності з алгебри: 18-19

18. Доведіть, що значення виразу 8n3 – 8n при будь–якому

натуральному значенні n кратне числу 24.

8n³ – 8n = 8n(n² – 1) = 8n(n – 1)(n + 1) — кратне 24, бо серед трьох послідовних натуральних чисел n – 1, n, n + 1 існує число, кратне 3.

19. Подайте вираз 2m² + 2n² у вигляді суми двох квадратів.

2m² + 2n² = m² + m² + 2mn – 2mn + n² + n² = m² + 2mn + n² + m² – 2mn + n² = (m + n)² + (m – n)².