Контрольні роботи. ВАРІАНТ 1: Кр.5 (6.2)

6*. До кола з центром O проведені дотичні AB, BC і CM, BOC = 90° (мал. 3). Доведіть, що прямі AB і CM паралельні.

Дано: коло (О; R), AB, BC, CM – дотичні; ВОС = 90°.

Довести: АВ  СМ.

Доведення: 1) АВ  ОА, ВС  OF, MC  OM (за властивістю дотичної);

2) AO = OF = OM = R;

3) AB = BF; FC = MC (за властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки).

4) ∆АВО = ∆FBO, ∆FOC = ∆MOC (за третьою ознакою рівності трикутників);

5) АВО = FBO = x, тоді AOB = FOB = 90° – x;

6) в ∆ВОС: ВОС = 90°; ОВС = x (із п. 5) тоді ОСВ = 90° – x.

Тому OCM = 90° – x (∆FOC = ∆MOC).

7) Розглянемо прямі АВ і МС, ВС – січна

АВС = АВО + OBF = x + x = 2x;

MCB = MCO + OCB = 90° – x + 90° – x = 180° – 2x;

ABC + MCB = 2x + 180° – 2x = 180° (внутрішні односторонні кути). Таким чином АВ  СМ.