Вправи: 661

661. Доведи: якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, який лежить проти цього катета, дорівнює 30°.

Дано: ∆АВС (∠С = 90°); ВС = 12АВ. Довести: ∠ВАС = 30°.

Доведення

На прямій ВС відкладемо відрізок CD, що дорівнює стороні СВ, і проведемо відрізок AD.

В ∆ВСА і ∆DCA:

1) BC = CD – за побудовою;

2) АС – спільна сторона.

Отже, ∆ВСА = ∆DCA за двома катетами. Тоді АВ = АD як відповідні сторони рівних трикутників. За умовою ВС = 12АВ, тоді BD = AB. Тому ∆DAB – рівносторонній.

∠А = ∠В = ∠D = 180° : 3 = 60°.

Медіана АС також є бісектрисою ∆DAB.

Тоді ∠ВАС = 12∠А = 12 • 60° = 30°.