Вправи: 586

586. Доведіть рівність двох трикутників за двома даними сторонами і медіаною, проведеною до однієї з них.

Нехай у трикутників АВС і А1В1С1 маємо АВ = АВ1, АС = А1С1, ВМ = В1М1, АМ = МС, А1М1 = М1С1 = 12АС = 12 А1С1. ∆АВМ = ∆А1В1С1

за трьома сторонами (АВ = А₁В₁ – за умовою, ВМ = В₁М₁ – за умовою, АМ = А₁М₁ – як половина рівних сторін АС і А₁С₁). Із рівності цих трикутників маємо, що ∠А = ∠А₁.

∆АВС = ∆А₁В₁С₁ – за двома сторонами і кутом між ними (АВ = А₁В₁ – за умовою, АС = А₁С₁ – за умовою, ∠А = ∠А₁ – за доведеним).

587–588. Замкнена ламана ABCDA така, що AВ = CD і AD = BC. Доведіть, що ∠A = ∠C і ∠B = ∠D. Розгляньте два випадки (мал. 15.17).

Рисунок 15.17.

∆АВС = ∆CDA за трьома сторонами (АВ = CD – за умовою, AD = BC – за умовою, АС – спільна сторона). Із рівності цих трикутників маємо

∠В = ∠D.

∆ABD = ∆CDB за трьома сторонами (АВ = CD – за умовою, AD = BC – за умовою, BD – спільна). Із рівності цих трикутників маємо ∠А = ∠С.

Рисунок 15.18.

∆BCD = ∆DAB за трьома сторонами (АВ = CD – за умовою, AD = BC – за умовою, BD – спільна сторона). Із рівності цих трикутників маємо

∠A = ∠C.

∆ABD = ∆CDA за трьома сторонами (АВ = CD – за умовою, BC = AD – за умовою, AC – спільна сторона). Із рівності цих трикутників маємо ∠B = ∠D.