Вправи: 516

516. Чому дорівнює кут між бісектрисами внутрішнього і зовнішнього

кутів трикутника, взятих при одній вершині?

СМ – бісектриса кута А (∠1 = ∠2), CN – бісектриса зовнішнього кута BCD (∠3 = ∠4).∠MCN = ∠1 + ∠3 = 12∠ACB + 12∠BCD = 12(∠ACB + ∠BCD) = 12 • 180° = 90°.Відповідь: 90°.

Стор.122 Задачі за готовими рисунками

1.

а) ∠А = 180°-120°• 231+ 23 = 60° • 23 • 35 = 24°;

∠С = 180°-120°• 11+ 23 = 60° • 33 = 36°.

Відповідь: 24°, 36°.

б) ∠А = ∠В = 130°2 = 65°.

Відповідь: 65° і 65°.

2.

а) ∠В = 135° • 44+5 = 60°.

∠В = 135° • 54+5 = 75°.

Відповідь: 60° і 75°.

б) ∠ВОС = 180° – ∠ОВС – ∠ОСВ = 180° – 12∠АВС – 12∠АСВ = 180° – 12 (∠АВС + ∠АСВ) = 180° – 12 • 120° = 180° – 60° = 120°.

Відповідь: 120°.

3.

а) ∠АМС = 130° – ∠1 = 130° – 30° = 100°; ∠4 = 180° – ∠АМС = 180° – 100° = 80°. ∠АКС = 130° – ∠2 = 130° – 40° = 90°; ∠3 = 180° – ∠АКС = 180° – 90° = 90°.

Відповідь: 90° і 80°.

б) ∠ВАН = 90° – ∠В = 90° – (180° – ∠САВ – ∠С) = 90° – (180° – 100°) = 10°. ∠САН = 90° – ∠С = 90° – 50° = 40°.

Відповідь: 10° і 40°.

4.

а) ∠А = ∠С = 180°-80°2 = 50°; ∠1 = ∠2 = 50°2 = 25°.

∠АКС = 180° – ∠С – ∠1 = 180° – 50° – 25° = 105°.

Відповідь: 105°.

б)	∆АВМ = ∆СВМ за першою ознакою рівності трикутників (АВ = ВС – за умовою, ВМ – спільна сторона, ∠АВМ = ∠СВМ – бо ВМ – бісектриса). Із рівності трикутників маємо ∠АМВ = ∠СМВ = 90°.∠АОМ = 180° – 120° = 60°; ∠ОАМ = 90° –

– ∠АОМ = 90° – 60° = 30°; ∠С = ∠А = 2 • ∠ОАМ = 2 • 30° = 60°.

∠В = 180° – ∠А – ∠С = 180° – 60° – 60° = 60°.

Відповідь: 60° і 60°.

Стор.123 Самостійна робота

Варіант 1

1. Накресліть гострокутний трикутник і проведіть його медіани.

2. Два кути трикутника дорівнюють 35° і 68°. Знайдіть третій кут.

180° – 35 – 68° = 77°.

Відповідь: 77°.

3. Периметр трикутника дорівнює З5 см. Знайдіть довжини йога

сторін, якщо одна з них довша за другу на З см і коротша від третьої на 6 см.

Нехай сторони трикутника дорівнюють х см, (х – 3) см і (х + 5) см. За умовою задачі маємо х + х – 3 + х + 5 = 35. Звідси 3х = 33, х = 11. Отже, сторони дорівнюють 11 см, 8 см і 16 см.

Відповідь: 11 см, 8 см і 16 см.

4. У трикутнику ABC сторони AB і BC — рівні, а BH — бісектриса.

Доведіть, що ∆ABН = ∆СВН.

∆АВН = ∆СВН за першою ознакою рівності трикутників, оскільки АВ = ВС – за умовою, ВН – спільна сторона, ∠1 = ∠2 (бо ВН – бісектриса кута В).

Варіант 2

1. Накресліть прямокутний трикутник і проведіть його бісектриси.

2. Два кути трикутника дорівнюють 110° і 67°. Знайдіть третій кут.

180° – 120° – 57° = 3°.

Відповідь: 3°.

3. Знайдіть довжини сторін трикутника, якщо одна з них довша за другу на 8 м, а за третю — на 5 м, а периметр трикутника дорівнює 50 м.

Нехай сторони трикутника дорівнюють х см, (х – 8) см і (х – 5) см. За умовою задачі маємо х + х – 8 + х – 5 = 50. Звідси 3х – 13 = 50, 3х = 63. х = 21. Отже, сторони дорівнюють 21 м, 13 м і 16 м.

Відповідь: 21 м, 13 м і 16 м.

4. У трикутнику KPT висота PM є водночас і бісектрисою. Доведіть, що ∆KPM = ∆TPM.

∆КРМ = ∆ТРМ за другою ознакою рівності трикутників, оскільки ∠1 = ∠2 (бо РМ – бісектриса), РМ – спільна сторона, ∠КРМ = ∠ТМР = 90° (бо РМ – висота).

Варіант 3

1. Накресліть тупокутний трикутник і проведіть його медіани.

2. Два кути трикутника дорівнюють 87° і 56°. Знайдіть третій кут.

180° – 87° – 56° = 37°.

Відповідь: 37°.

3. Периметр трикутника дорівнює 62 см. Знайдіть довжини йога сторін, якщо одна з них довша за другу в 2 рази, а за третю — на 8 см.

Нехай сторони трикутника дорівнюють х см, х2 см, (х – 8) см. За умовою задачі маємо х + х2 + х – 8 = 62. Звідси 2х + х + 2х – 16 =

= 124, 5х = 140, х = 28. Отже, сторони дорівнюють 28 см, 14 см, 20 см.

Відповідь: 28 см, 14 см, 20 см.

4. У трикутнику ABC кути A і C — рівні, a BM — висота. Доведіть,

що ∆ABM = ∆СВМ.

∆АВМ = ∆СВМ за другою ознакою рівності трикутників, оскільки ∠АМВ = ∠СМВ = 90°, ∠1 = ∠2 = 90° – ∠А = 90° – ∠С.

Варіант 4

1. Накресліть довільній трикутник і проведіть усі його висоти.

2. Два кути трикутника дорівнюють 130° і 25°. Знайдіть третій кут.

180° – 130° – 25° = 25°.

Відповідь: 25°.

3. Периметр трикутника дорівнює 85 м. Знайдіть довжини його сторін, якщо одна з них коротша від другої у 2 рази, а від третьої — на 1 м.

Нехай сторони трикутника дорівнюють х м, 2х см і (х + 1) см. За умовою задачі маємо х + 2х + х + 1 = 85. Звідси 4х = 84, х = 21. Отже, сторони дорівнюють 21 м, 42 м, 22 м.

Відповідь: 21 м, 42 м, 22 м.

4. У трикутнику KPT висота PН є водночас і медіаною. Доведіть, що

∆KPН = ∆TPH.

∆КРН = ∆ТРН за першою ознакою рівності трикутників, оскільки КН = НТ (бо РМ – бісектриса), РМ – спільна сторона, ∠КНР = ∠ТНР = 90° (бо РН – висота).

Стор.124 Тестові завдяння

1. Один із кутів трикутника дорівнює 40°, а другий — на 20° більший. Третій кут трикутника дорівнює: б) 80°.

2. Зовнішні кути трикутника дорівнюють 100° і 120°. Знайдіть внутрішній кут при третій вершині. в) 40°.

3. Кути трикутника пропорційні числам 2, 3 і 5. Знайдіть найменший кут трикутника. г) 36°.

4. ∆ABC = ∆A1В1C1. Який знак слід поставити замість * в записі: ∠A * ∠A1? б) =.

5. ∆АВС = ∆A1B1C1. Який знак слід пос–тавити замість * в записи: AB * A1B1? в) =.

6. ∆АВС = ∆A1B1C1, AB = 5 см, AC = 7см. Знайдіть BC, якщо P∆A1B1C1 = 21 см. г) 9 см.

7. ∆АВС = ∆A1B1C1, ∠A = 70°, ∠B = 60°. Знайдіть ∠C1. а) 50°.

8. Який трикутник дорівнює трикутнику АОС? б) ∆BOD.

9. Якому куту дорівнює кут ОАС? б) ∠OBD.

10. Яке твердження хибне? в) AB ∥ CD.

Стор.125 Типові задачі для тематичного контролю

3. Відрізки AB і KP перетинаються в точці O так, що OA = OB y

OK = OP. Доведіть, що ∆AOP = ∆BOK.

∆АОР = ∆ВОК за першою ознакою рівності трикутників, оскільки АО = ОВ – за умовою, ОК = ОР – за умовою, ∠АОР = ∠ВОК – як вертикальні.

6. BK — висота трикутника ABC. Знайдіть AC, якщо AK = 5 см,

KC = 11 см, ∠A = 120°.

АК = КС – АК = 11 см – 5 см = 6 см.Відповідь: 6 см.

7. Зображені на малюнку 13.26 трикутники ABC і AKC такі, що ∠BAC = ∠KAC і ∠BCA = ∠KCА. Доведіть, що AB = AК.

∆АВС = ∆АКС за другою ознакою рівності трикутників, оскільки

∠ВАС = ∠КАС – за умовою, АС – спільна сторона.

Із рівності цих трикутників випливає, що АВ = АК.

8. У трикутнику АВС проведено висоти AP і BH. Доведіть, що AP = BH, якщо PC = HC

∆СНВ = ∆СРА за другою ознакою рівності трикутників, оскільки СН = СР – за умовою, ∠С – спільний, ∠СНВ = ∠СРА = 90° – бо ВН і АР – висоти. Із рівності трикутників випливає, що АР = ВН.

9. Знайдіть кути трикутника, якщо його зовнішні кути пропорційні

числам 3, 7 і 8.

Знайдемо зовнішні кути трикутника, враховуючи, що їх сума дорівнює 360°.

360° •33+7+8 = 60°; 360° •73+7+8 = 140°; 360° •83+7+8 = 160°.

Тоді кути трикутника дорівнюють:

180° – 60° = 120°, 180° – 140° = 40°, 180° – 160° = 20°.

Відповідь: 120°, 40°, 20°.