Вправи: 542

542. У прямокутному трикутнику з катетами а і b проведено висоту до гіпотенузи с. Основа висоти ділить гіпотенузу на відрізки, що відносяться, як а² : b², починаючи від вершини В. З'ясуйте, на скільки сантиметрів периметр одного з утворених прямокутних трикутників більший за периметр другого, якщо: 1) a = 6 см, b = 8 см, с= 10 см; 2) а = 7 см, b= 24 см, с = 25 см; 3) а = 5 см, b = 12 см, с = 13 см.

За умовою, BDDA = a2b2, звідки BD = a2b2 • DA. Оскільки с = BD + DA =

= a2b2 • DA + DA = DA(a2b2 + 1) = DA • a2+ b2b2, то DA = cb2a2+b2. BD = a2b2 • cb2a2+ b2 = a2ca2+ b2, DA – BD = cb2a2+b2 – a2ca2+ b2 = c(b2- a2)a2+ b2. P_CDB = a + BD + DC, P_ADC = b + DA + DC, звідки P_ADC – P_CDB = b + DA + DC – a – BD – DC = b – a + DA – BD = b – a + c(b2- a2)a2+ b2. Отже, P_ADC – P_CDB = (b – a)(1 + c(b+a)a2+ b2).

1) Якщо а = 6 см, b = 8 см, с = 10 см, то: P_ADC – P_CDB = (b – a)(1 +

+ c(b+a)a2+ b2) = (8 – 6)(1 + 10(8+6)36+64) = 2 • 2,4 = 4,8 (см);

2) якщо а = 7 см, b = 24 см, с = 25 см, то: P_ADC – P_CDB = (b – a)(1 +

+ c(b+a)a2+ b2) = (24 – 7)(1 + 25(24+7)49+576) = 17 • 2,24 = 38,08 (см);

3) якщо а = 5 см, b = 12 см, с = 13 см, то: P_ADC – P_CDB = (b – a)(1 +

+ c(b+a)a2+ b2) = (12 – 5)(1 + 13(12+5)25+144) = 7 • 3013 = 21013 = 16213 (см).