Вправи: 804

804. На продовженнях гіпотенузи AB прямокутного трикутника

ABC за точки A i B позначили відповідно точки D і E так, що AC = AD, BC = BE. Знайдіть кут DCE.

Нехай ∆АВС — даний, ∠C = 90°, AC = AD,

BC = BE. Знайдемо ∠DCE.

Розглянемо ∆АВС (∠C = 90°).

Нехай ∠CAB = х, ∠CBA = 90° – х.

Розглянемо ∆CBE — рівнобедрений

(CB = BE), тоді ∠BCE = ∠CEB.

∠CBA = 90° – х — зовнішній кут ∆СВЕ.

∠CBA = ∠BCE + ∠BEC,

∠BCE = ∠BEC = (90° – х) : 2 = 45° – x2.

Розглянемо ∆DAC — рівнобедрений (DA = AC), тоді ∠ADC = ∠DCA.

∠CAB = х — зовнішній кут ∆DAC.

∠CAB = ∠ADC + ∠ACD, ∠ADC = ∠ACD = x2.

∠DCE = ∠DCA + ∠ACB + ∠BCE. ∠DCE = x2 + 90° + 45° – x2 = 135.

Відповідь: ∠DCE = 135°.