Вправи: 800

800. Висоти AM і CK трикутника ABC перетинаються в точці О, OK = ОМ, ∠BAM = ∠ACK. Доведіть, що трикутник ABC рівносторонній.

Нехай дано ∆ABC, AM і CK — висоти, т. O — точка перетину висот.

OK = OM, ∠BAM = ∠ACK. Доведемо, що ∆ABC — рівносторонній.

Нехай ∠BAM = ∠ACK = x.

Розглянемо ∆ABM (∠M = 90°). ∠B = 90° – x.

Розглянемо ∆KBC (∠K = 90°). ∠B = 90° – х,

∠BCK = x. Розглянемо ∆KOA і ∆MOC.

1) ∠OKA = ∠OMC = 90° (AM і CK — висоти).

2) KO = OM (за умовою).

3) ∠KAO = ∠MCO = x.

Отже, ∆KOA = ∆MOC за катетом і гострим кутом, з цього випливає,

що AO = ОС. Тоді ∆AOC — рівнобедрений і ∠OAC = ∠OCA = х.

Розглянемо ∆ABC. ∠B = 90° – x, ∠A = x + x = 2х, ∠C = х + х = 2х.

Оскільки ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то 90 – х + 2х + 2х = 180;

90 + Зх = 180; Зх = 90; х = ЗО.

∠B = 90° – 30° = 60°, ∠A = 30° + 30° = 60°,

∠C = 30° + 30° – 60°.

Якщо в ∆ABC ∠A = ∠B = ∠C = 60°, то цей трикутник — рівносторонній.