Вправи: 651

651. У рівнобедреному трикутнику з вершини одного кута при основі проведено висоту трикутника, а з вершини другого кута при основі — бісектрису трикутника. Один із кутів, утворених при перетині проведених бісектриси й висоти, дорівнює 64°. Знайдіть кути даного трикутника.

Дано: ∆ABC — рівнобедрений, AB = BC.

AD — висота (AD ⊥ BC), CE — бісектриса ∠ACB.

AD CE « F. ∠AFE = 64°.

Знайти: кути ∆АВС.

Розв’язання: ∠AFE = ∠CFD = 64° (вертикальні).

Розглянемо ∆FDC — прямокутний (за умовою AD ⊥ BC, ∠ADC = 90°).

За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо:

∠FCD = 90° – 64° = 26°.

CE — бісектриса ∠ACB, отже, ∠ACE = ∠ECB = 26°, тобто

∠ACB = 26° ∙ 2 = 52°.

Розглянемо ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC). ∠A = ∠C = 52°,

∠B = 180° – (52° ∙ 2) = 180° – 104° = 76°.

Відповідь: 52°, 52°, 76°.