Вправи: 653

653. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, AM і CK — медіани цього

трикутника. Доведіть, що MK ∥ AC.

Дано: ∆ABC, AB = BC. AM, CK — медіани.

Довести: KM ∥ AC.

Доведення: За умовою ∆ABC — рівнобедрений, тому що AB = BC. За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо:

∠A = ∠C = (180° – ∠B) : 2. AM — медіана. За означенням медіани маємо BM = MC = 12BC і CK — медіана, AK = KB = 12AB . Отже,

KB = BM.

Звідси маємо ∆KBM — рівнобедрений. ∠K = ∠M = (180° – ∠B) : 2.

Отже: ∠BKM = ∠BAC = (180° – ∠B) : 2 (відповідні). За ознакою паралельності прямих маємо KM ∥ AC, AB — січна. Доведено.