Вправи: 649

649. Точки F i O — центри вписаного й описаного кіл рівнобедреного трикутника ABC відповідно (рис. 347). Вони розташовані на однаковій відстані від його основи AC. Знайдіть кути трикутника ABC.

Дано: ∆АВС — рівнобедрений, AB = BC.

F — центр вписаного кола, O — центр описаного кола. OE = EF.

Знайти: кути ∆ABC.

Розв’язання: F — центр вписаного кола.

Отже, AF — бісектриса ∠BAC.

Нехай ∠EAF = ∠FAB = x, тоді ∠BAE = 2х.

Розглянемо ∆AFE — прямокутний (∠E = 90°).

За властивістю гострих кутів маємо: ∠EFA = 90° – х.

Розглянемо ∆AEB — прямокутний (∠E = 90°), ∠ABE = 90° – 2х.

За умовою O — центр описаного кола, тобто OA = OB — радіуси описаного кола. Розглянемо ∆OAB — рівнобедрений (OA = OB).

За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо:

∠ABO = ∠BAO.

Розглянемо ∆AEB — прямокутний (∠E = 90°).

∠ABE = 90° – 2х; ∠ABO = ∠BAO = 90° – 2х.

∠OAE = ∠OAB – ∠EAB; ∠OAE = 90° – 2х – 2х = 90° – 4x.

За умовою OE = EF і AE ⊥ OF. Отже, AE — медіана і висота. Звідси

маємо: ∆OAF — рівнобедрений. ∠OAF = 2∠OAE = 180° – 8x.

За теоремою про суму кутів трикутника маємо:

∠OAF + ∠AFO + ∠FOA = 180°.

180° – 8x + 90° – x + 90° – х = 180°; 180° – 10x = 0; 10x = 180°;

x = 18.

∠BAC = ∠BCA = 18° ∙ 2 = 36°; ∠ABC = 180° – 2 ∙ 36° = 180° – 72° = 108°.

Відповідь: 36°, 36°, 108°.