Вправи: 453

453. На бічних сторонах AB і BC рівнобедреного трикутника ABC позначили відповідно точки E та F так, що AC = AF = EF = BE. Знайдіть кути трикутника ABC.

Нехай даний ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC).

AC = AF = EF = BE. Знайдемо кути ∆ABC.

Оскільки ∆ABC — рівнобедрений, то ∠A = ∠C = х.

∠A + ∠B + ∠C = 180°. ∠B = 180° – х – х;

∠B = 180° – 2х.

Розглянемо ∆FAC — рівнобедрений (AC = AF), тоді

∠C = ∠AFC = x. ∠C + ∠AFC + ∠FAC = 180°.

∠FAC = 180° – (х + х) = 180° – 2х.

∠A = х; ∠A = ∠EAF + ∠FAC;

х = ∠EAF + 180° – 2x; x + 2x – 180° = ∠EAF; 3x – 180° = ∠EAF.

∠EAF = ∠AEF = 3x – 180° (як кути при основі рівнобедреного ∆EAF).

∠EAF + ∠AEF + ∠EFA = 180°.

∠EFA = 180° – (3x – 180° + 3x – 180°) = 180° – 6x + 360° = 540° –

6x.

Розглянемо ∆BEF — рівнобедрений (BE = EF), тоді

∠EBF = ∠BFE = 180° – 2х. ∠CFB — розгорнутий, ∠CFB = 180°.

∠CFB = ∠AFC + ∠AFE + ∠FFB = 180°.

х + 540° – 6х + 180° – 2х = 180°; –7х = –540; х = 5407.

∠A = ∠C = 540°7 = 771°7; ∠B = 180° – 2 ∙ 5407 = 180° – 1080°7 = 180° – 1542°7 = 17977 – 15427 = 255°7.

Відповідь: ∠A = ∠C = 771°7; ∠B = 255°7.