Вправи: 454

454. У трикутнику ABC відомо, що AB = 2 см, ∠A = 60°, ∠B = 70°. На

стороні AC позначили точку D так, що AD = 1 см. Знайдіть кути

трикутника BDC.

Нехай даний ∆ABC, ∠A = 60°, ∠B = 70°, AB = 2см,

AD = 1 см. Знайдемо кути ∆BDC.

В ∆ABD проведемо медіану DK.

AK = KВ = 12 AB = 2 : 2 = 1 см.

Розглянемо ∆AKD — рівнобедрений

(AD = AK = 1 см), якщо ∠A = 60°, то ∆AKD — рівносторонній.

Отже, AD = AK = KD, ∠A = ∠AKD = ∠KDA = 60°.

∠BKD і ∠AKD — суміжні, тоді ∠BKD + ∠AKD = 180°.

∠BKD = 180° – 60° – 120°.

∆BKD — рівнобедрений (KB = KD = 1 см), тоді ∠KBD – ∠KDB – (180° – 120°) : 2 = 30°.

Розглянемо ∆ABC:

∠A + ∠B + ∠C = 180°. ∠C = 180° – (60° + 70°); ∠C = 50°.

∠B = ∠KBD + ∠DBC; ∠DBC = 70° – 30° = 40°.

Розглянемо ∆BDC: ∠DBC + ∠C + ∠BDC = 180°.

40° + 50° + ∠BDC = 180°. ∠BDC = 180° – 90° = 90°.

Відповідь: ∠BDC = 90°;∠DBC = 40°; ∠C = 50°.