Вправи: 450

450. Чи існує трикутник, у якому одна бісектриса ділить навпіл другу бісектрису?

Нехай ∆ABC — даний за умовою трикутник. AK і CM — бісектриси, перетинаються в т. О.

Нехай AO = OK. Розглянемо ∆АКС:

CO — бісектриса (за умовою);

CO — медіана (AO = OK за припущенням).

Якщо в трикутнику бісектриса і медіана збігаються,

тоді він є рівнобедреним і OC є висотою.

Тоді CM ⊥ AK, але в задачі 410 доведено, що не існує трикутник, дві

бісектриси якого перпендикулярні. Отже, не існує трикутник у якому

одна бісектриса ділить навпіл другу бісектрису.