Вправи: 445

445. Трикутник ABC рівнобедрений з основою AC. На стороні BC позначено точку M так, що BM = AM = AC. Знайдіть кути трикутника ABC.

Нехай ∆АВС — даний за умовою. ∆ABC — рівнобедрений, т. M лежить на BC. BM = AM = AC.

Розглянемо ∆ABC — рівнобедрений, тоді ∠A = ∠C = х.

Розглянемо ∆АМС: AM = AC (за умовою), тоді ∆AMC — рівнобедрений

і ∠C = ∠AMC = x (як кути при основі). ∠BMA і ∠AMC — суміжні.

∠BMA + ∠AMC = 180°; ∠BMA = 180° – x.

Розглянемо ∆ВМА: BM = MA (за умовою), тоді ∆BMA — рівнобедрений

і ∠B = ∠BAM.

∠B + ∠BAM + ∠BMA = 180°;

∠B + ∠BAM = 180° – (180° – x);

∠B + ∠BAM = 180° – 180° + x; ∠B + ∠BAM = x;

∠B = ∠BAM = x2.

Для ∆АВС: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

x + x2 + x = 180; 2x + х + 2х = 360; 5x = 360; x = 72.

∠A = ∠C = 72°.

∠B = 72° : 2 = 36°.

Відповідь: ∠A = ∠C = 72°; ∠B = 36°.