Вправи: 435

435. Бісектриси кутів при основі AC рівнобедреного трикутника

ABC перетинаються в точці О. Доведіть, що кут AOC дорівнює зовнішньому куту трикутника ABC при вершині А.

Доведення:

Нехай ∆АВС — рівнобедрений (AB = BC), AO — бісектриса, CO — бісектриса. ∠KAB — зовнішній кут ∆ABC, доведемо, що ∠AOC = ∠KAB.

Нехай ∠A = ∠C = х, тоді

∠KAB = 180° – x (властивість зовнішнього кута).

∠ВАО = ∠OAC = ∠BCO = ∠OCA = 12∠A = 12∠C = 12 (так як AO і CO — бісектриси рівних кутів).

Розглянемо ∆АОС.

∠OAC + ∠ACO + ∠AOC = 180°.

х2 + x2 + ∠AOC = 180°; x + ∠AOC = 180°;

∠AOC = 180° – x. Отже, ∠AOC = 180° – x і ∠KAB = 180° – x, тому

∠AOC = ∠KAB.