Вправи: 240

240. Доведіть, що бісектриси рівнобедреного трикутника, проведені з вершин кутів при основі, рівні.

Дано: ΔABC — рівнобедрений; AC — основа, AN — бісектриса ∠BAC, CK — бісектриса ∠ACB.

Довести: CK = AN.

Доведення: Розглянемо ΔAKC і ΔCNA.

1) AC — спільна сторона.

2) За умовою ΔABC — рівнобедрений,

тому ∠CAK = ∠ACN (кути при основі рівнобедреного трикутника).

3) AN — бісектриса ∠BAC. За означенням бісектриси кута трикутника

маємо ∠BAN = ∠CAN = 12 ∠BAC.

Аналогічно, CK — бісектриса ∠ACB. Тому ∠ACK = ∠KCB = 12 ∠ACB.

Тоді ∠NAC = ∠KCА.

ΔАKС = ΔCNA (за II ознакою рівності трикутників). Тому AN = CK (як рівні відповідні елементи рівних фігур). Доведено.