Вправи: 209

209. Відрізки AB і CD перетинаються в точці O та діляться цією точкою навпіл. На відрізку AC позначено точку M, а на відрізку BD — точку K так, що AМ = BK. Доведіть, що: 1) OM = OK; 2) точки M, O i K лежать на одній прямій.

Доведення: Нехай AB і CD перетинаються в т. О, причому

AO = OB, CO = ОD, т. M лежить на відрізку AC, т. K лежить на відрізку BD, AM = BK.

Доведемо, що 1) OM = OK.

Розглянемо ΔACO і ΔBDO.

1) AO = OB (за умовою);

2) CO = OD (за умовою);

3) ∠AOC = ∠BOD (як вертикальні).

Отже, ΔACO = ΔBDO за І ознакою.

Розглянемо ΔAMO і ΔBKO.

1) AO = OB (за умовою); 2) AM = BK (за умовою);

3) ∠MAO = ∠KBO (т. я. ΔACO = ΔBDO).

Отже, ΔAMO = ΔBKO за І ознакою, з цього випливає, що MO = OK.

2) Доведемо, що точки М, O і K лежать на одній прямій.

∠AOM = ∠BOK (т. я. ΔAMO = ΔBKO), точки А, О, В лежать на одній

прямій за умовою, оскільки ∠AOM = ∠BOK, то ці кути вертикальні,

отже, точки М, O і K лежать на одній прямій.