Вправи: 603

603. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника,

дорівнює 10 см і ділить прямий кут у відношенні 1 : 2. Знайдіть гіпотенузу та менший катет трикутника.

1) У ∆ABC: ∠C = 90°; CM – медіана; ∠ACM : ∠MCB = 1 : 2. Позначимо ∠ACM = х; ∠MCB = 2х.2) х + 2х = 90°; Зх = 90°; х = 30°. Тоді ∠ACM= 30°; ∠MCB = 60°.3) За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи, CM = АВ2.

В той самий час AM = MB = АВ2. Тому CM = MB, а отже,

∠MBC = 60° і MB = CM = 10 (см).

4) AB = 2 ∙ MB= 2 ∙ 10 = 20 (см).

5) У ∆CKB: ∠CBM = 180° – 2 ∙ 60° = 60°.

Тому ∆CMB – рівносторонній.

CB = CM = 10 (см).

Відповідь. 20 см; 10 см.