Вправи: 604

604. Доведіть, що в нерівнобедреному прямокутному трикутнику

бісектриса прямого кута ділить кут між висотою і медіаною, проведеними з тієї самої вершини, навпіл.

1) Нехай у трикутнику ABC: ∠C = 90°; ∠A = α; ∠B < ∠A. Тому α > 45°.2) CM — медіана ∆ABC; CL — бісектриса ∆ABC; CK — висота ∆ABC.3) У ∆CKA: ∠KCA = 90° – α.4) ∠LCA = 90°2 = 45°.

5) ∆CМA — рівнобедрений, оскільки CM = АВ2 і AM = АВ2.

Тому ∠МCA= α.

6) ∠MCL = ∠MCA – ∠LCA = α – 45°.

7) ∠LCK = ∠LCA – ∠KCA = 45° – (90° – α) = α – 45°.

8) Отже, ∠MCL = ∠LCK, а тому бісектриса CL ділить кут між висотою

CK і медіаною CМ навпіл, що й треба було довести.