Вправи: 338

338. На бісектрисі кута А позначили точку В, а на його сторонах

такі точки M і N , що ∠ABM = ∠ABN. Доведіть, що MN ⊥ AB.

1) Оскільки AB — бісектриса кута А, то∠MAB = ∠NAB. Крім того, ∠ABM = ∠ABN(за умовою) і AB — спільна сторона трикутників ABM і ABN. Тому ∆ABM = ∆ABN (за другою ознакою).2) Тому AM = AN.

3) AO — спільна сторона трикутників AOM і AON; AM = AN;

∠MAO = ∠NAO. Тому ∆MAO = ∆NAO (за першою ознакою).

4) Тому ∠AOM = ∠AON = 180°2 = 90° (як рівні суміжні кути). А отже,

MN ⊥ AB, що й треба було довести.