Вправи: 559

559. На сторонах кута А позначено точки B і C так, що AB = АС.

DC ⊥ AE, BE ⊥ AD (мал. 341). Доведіть, що: 1) BD = СЕ; 2) AO — бісектриса кута А.

1. 1) Кут А — спільний кут трикутників ABE і ACD.

2) ∠ABE = ∠ACD = 90°; AB = AC (за умовою). ∆ABE = ∆ACD (за другою ознакою). Тому ∠E = ∠D і AE = AD.

3) Оскільки AB = AC і AD = AE, то AD – AB = AE – АС, тому BD = СЕ.

2. 1) ∠DBO = ∠ECO = 90°; ∠D = ∠E; BD = СЕ. Тому ∆DBO = ∆ECO (за другою ознакою). Звідси отримаємо, що BO = CO.

2) AB = AC; BO = ОС; ∠ABO = ∠ACO = 90°, тому ∆ABO = ∆ACO (за першою ознакою). Звідси: ∠BAO = ∠CAO, а тому AO — бісектриса кута А.

Задачу доведено.