Вправи: 732

732. Через точку А до кола із центром O проведено дотичні AM і AK, M i K — точки дотику. Точка перетину відрізка OA з колом є серединою цього відрізка. Знайдіть кут МАК.

Дано: коло з центром в точці О. AM і AK —

дотичні (А поза колом).

M i K — точки дотику.

OA — перетинає коло в точці N.

N — середина OA.

Знайти: ∠MAK.

Розв'язання: Виконаємо додаткові побудови: OM і OK — радіуси.

За властивістю дотичних до кола маємо: OM ⊥ MA; OK ⊥ AK та MA = AK. Розглянемо ∆ОМА та ∆OKA — прямокутні.

OA — спільна сторона; OM = OK — радіуси.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ОМА = ∆OKA,

звідси маємо: ∠MAO = ∠KAO.

За аксіомою вимірювання кутів маємо ∠MAK = ∠MAO + ∠KAO =

= 2 ∠MAO. Розглянемо ∆ОМА — прямокутний. ∠OMA = 90°; OM =

= ON = R; N — середина OA; якщо ON = NA і ON = R i тоді OA = 2R. За властивістю катета, який лежить навпроти кута 30°, маємо, якщо OM = R та OA = 2R, тоді ∠MAO = 30°.

Звідси маємо ∠MAK = 30° ∙ 2 = 60°.

Відповідь: 60°.