Вправи: 718

718. Кут між висотою та бісектрисою рівнобедреного трикутника,

проведеними з однієї вершини, дорівнює 15°. Знайдіть кути даного трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Нехай ∆АВС даний рівнобедрений трикутник (AB = BC).

AD — висота, AK — бісектриса, ∠KAD = 15°. Знайдемо кути ∆АВС.

Розглянемо ∆AKD. ∠ADK = 90°, ∠AKD = 90° – ∠KAD,

∠AKD = 90° – 15° = 75°. ∠BKA + ∠AKD = 180° (як суміжні).

∠BKA = 180° – 75° = 105°.

Нехай ∠BAK = ∠KAC = х (AK – бісектриса).

∠BAC = 2х. З ∆ВАХ: ∠B = 180° – (∠BAK + ∠BКA),

∠B = 180° – (х + 105°) = 180° – х – 105° = 75° – х.

Розглянемо ∆АВС. ∠A = ∠C = 2х (∆АВС — рівнобедрений).

∠A + ∠C + ∠B = 180°, 2х + 2х + 75 – х = 180; Зх = 105; х = 35.

∠A = ∠C = 2 ∙ 35° = 70°, ∠B = 75° – 35° = 40°.

Дана задача має один розв’язок, так як висота і бісектриса, проведені з вершини рівнобедреного трикутника до основи співпадають, а за умовою кут між ними 15°.