Вправи: 716

716. Дві висоти рівнобедреного трикутника при перетині утворюють кут 100°. Знайдіть кути даного трикутника.

I випадок. Розв’язання: Нехай даний ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC), висоти проведені із кутів А і С. AK і CD — висоти, т. O — точка їх перетину, ∠AOC = 100°. Знайдемо кути ∆ABC.

∠DOA + ∠AOC = 180° (як суміжні).

∠DOA = 180° – 100° = 80°.

∠DOA = ∠KOC = 80° (як вертикальні).

Розглянемо ∆ABK, ∠AKB = 90°,

∠DAO = ∠KCO = 180° – (90° + 80°) = 10°,

∠BAK = 10°, тоді ∠ABK – 90° – 10° = 80°.

Розглянемо ∆ABC — рівнобедрений, ∠B = 80°.

∠BAC = ∠BCA = (180° – 80°) : 2 = 50°.

Відповідь: ∠B ~ 80°, ∠BAC = ∠BCA = 50°.

II випадок. Розв’язання: Нехай висоти BM і CD

проведені відповідно з т. В і т. С.

∠BOD + ∠BOC = 180° (як суміжні).

∠BOD = 180° – 100° = 80°.

Розглянемо ∆BOD: ∠D = 90°, ∠DBO = 90° – ∠DOB,

∠DBO = 90° – 80° = 10°. Розглянемо ∆ABC (AB = BC).

BM — висота, проведена до основи, тоді BM — бісектриса.

∠ABC = 2 ∙ 10° = 20°, ∠A = ∠C = (180° – 20°) : 2 – 80°.

Відповідь: ∠B = 20°, ∠A = ∠C = 80°.