Вправи: 703

703. Пряма, паралельна стороні AC трикутника ABC, перетинає

його сторони AB і BC у точках M i K відповідно так, що AM = MK. Відомо, що ∠B = 65°, ∠C = 45°. Знайдіть кут КАС.

Нехай ∆ABC — даний, ∠B = 65°, ∠C = 45°,

MK ∥ AC, MK = AM. Знайдемо ∠KAC.

Розглянемо ∆ABC: ∠A = 180° – (∠B + ∠C),

∠A = 180° = (65° + 45°) = 180° – 110° = 70°.

MK ∥ AC, AB — січна, тоді ∠BMK = ∠A = 70°

(як відповідні). ∠BMK — зовнішній кут ∆AMK.

∠BMK = ∠MAK + ∠MKA, ∠MAK = ∠MKA (∆AMK — рівнобедрений

(AM = МK)). ∠MAK = ∠MKA = 70° : 2 = 35°.

∠A = ∠MAK + ∠KAC, 70° = 35° + ∠KAC, ∠KAC = 70° – 35° = 35°.

Відповідь: ∠KAC = 35°.