Вправи: 699

699. На стороні BC трикутника ABC позначили точки M i K (точка M лежить між точками ВІК) так, що ∠KAC = ∠B, ∠BAM = ∠C. Доведіть, що трикутник МАК рівнобедрений.

Нехай даний ∆ABC, точки M і K лежать на BC,

т. M між т. B і т. K, ∠KAC = ∠B, ∠BAM = ∠C. Доведемо, що ∆AMK — рівнобедрений.

Розглянемо ∆ABM:

∠AMB = 180° – (∠BAM + ∠B).

Розглянемо ∆АКС: ∠AKC = 180° – (∠KAC + ∠C).

Оскільки ∠BAM = ∠C, ∠KAC = ∠B, то ∠AMB = ∠AKC.

∠AMK + ∠AMB = 180° (як суміжні). ∠AMK = 180° – ∠AMВ.

∠AKM + ∠AKC = 180° (як суміжні). ∠AKM = 180° – ∠AKC.

Так як ∠AMB = ∠AKC, то ∠AMK = ∠AKM.

Розглянемо ∆AMК: ∠AMK = ∠AKM, отже, ∆AMK — рівнобедрений,