Вправи: 258

258. Кожна з точок M і N рівновіддалена від кінців відрізка AВ. Доведіть, що пряма MN — серединний перпендикуляр відрізка AB.

Дано: відрізок AB, AM = MB, AN = NB.

Довести: MN — серединний перпендикуляр.

Доведення: Розглянемо ∆NAM і ∆NBM.

1) AN = NB (за умовою); 2) AM = MB (за умовою);

3) NM — спільна сторона.

За III ознакою рівності трикутників маємо

∆NAM = ∆NBM.

Отже, ∠AME = ∠BME, ∠ANE = ∠BNE (як рівність

відповідних елементів рівних фігур).

Розглянемо ∆AMB — рівнобедрений (AM = MB). Якщо ∠AME = ∠BME,

тоді ME — бісектриса. За властивістю рівнобедреного трикутника маємо ME — висота, медіана, ME ⊥ AB, AE = EB.

Аналогічно ∆ANB — рівнобедрений. ∠ANE = ∠BNEy тоді NE — бісектриса, медіана, висота, NE ⊥ AB, AE = EB. Тоді маємо MN ⊥ AB і MN ділить AB навпіл. Отже, MN — серединний перпендикуляр. Доведено.